Theorem relssdr 3499

Description: A relation is included in the cross product of its domain and range. Exercise 4.12(t) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
relssdr	|- (Rel A -> A (_ (dom A X. ran A))

Proof of Theorem relssdr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. 2 |- (Rel A -> Rel A)
2		19.8a 1025	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> E.y<.x, y>. e. A)
3		19.8a 1025	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> E.x<.x, y>. e. A)
4	2, 3	jca 288	. . . 4 |- (<.x, y>. e. A -> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
5		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
6	5	opelxp 3204	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (dom A X. ran A) <-> (x e. dom A /\ y e. ran A))
7		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
8	7	eldm2 3297	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9	5	elrn2 3335	. . . . . 6 |- (y e. ran A <-> E.x<.x, y>. e. A)
10	8, 9	anbi12i 481	. . . . 5 |- ((x e. dom A /\ y e. ran A) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
11	6, 10	bitr 173	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (dom A X. ran A) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
12	4, 11	sylibr 200	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (dom A X. ran A))
13	12	a1i 8	. 2 |- (Rel A -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (dom A X. ran A)))
14	1, 13	relssdv 3239	1 |- (Rel A -> A (_ (dom A X. ran A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  E.wex 977   (_ wss 2037  <.cop 2401   X. cxp 3158  dom cdm 3160  ran crn 3161  Rel wrel 3165

This theorem is referenced by:  relfld 3501  cnvexg 3505  coexg 3510  resfunexg 3565  cofunexg 3566  fnex 3593  fssxp 3622  oprabss 3991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179

Copyright terms: Public domain