Theorem relssi 3210

Description: Inference from subclass principle for relations.

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	|- Rel A
relssi.2	|- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)

Assertion

Ref	Expression
relssi	|- A (_ B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 |- Rel A
2		ssrel 3209	. . 3 |- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
4		relssi.2	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)
5	4	ax-gen 955	. 2 |- A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)
6	3, 5	mpgbir 964	1 |- A (_ B

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 950   e. wcel 1105   (_ wss 2018  <.cop 2382  Rel wrel 3138

This theorem is referenced by:  xpsspw 3219  resiexg 3347  oprssdm 3981  ecopoprdm 4247  enssdom 4318  idssen 4341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-opab 2635  df-xp 3147  df-rel 3148

Copyright terms: Public domain