Theorem relssres 3376

Description: Simplification law for restriction.

Assertion

Ref	Expression
relssres	|- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> (A |` B) = A)

Proof of Theorem relssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . . 4 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> Rel A)
2		ssel 2053	. . . . . . . 8 |- (dom A (_ B -> (x e. dom A -> x e. B))
3		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- x e. V
4	3	opeldm 3303	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. A -> x e. dom A)
5	2, 4	syl5 21	. . . . . . 7 |- (dom A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> x e. B))
6	5	ancld 298	. . . . . 6 |- (dom A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> (<.x, y>. e. A /\ x e. B)))
7		visset 1804	. . . . . . 7 |- y e. V
8	7	opelres 3356	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> (<.x, y>. e. A /\ x e. B))
9	6, 8	syl6ibr 213	. . . . 5 |- (dom A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (A |` B)))
10	9	adantl 388	. . . 4 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (A |` B)))
11	1, 10	relssdv 3239	. . 3 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> A (_ (A |` B))
12		resss 3367	. . 3 |- (A |` B) (_ A
13	11, 12	jctil 292	. 2 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> ((A |` B) (_ A /\ A (_ (A |` B)))
14		eqss 2067	. 2 |- ((A |` B) = A <-> ((A |` B) (_ A /\ A (_ (A |` B)))
15	13, 14	sylibr 200	1 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> (A |` B) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   (_ wss 2037  <.cop 2401  dom cdm 3160   |` cres 3162  Rel wrel 3165

This theorem is referenced by:  resdm 3377  resid 3384  fnresdm 3582  tz7.48-2 3942  zorn2lem4 4763  cncfmet1 7845  abscncfALT 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-dm 3178  df-res 3180

Copyright terms: Public domain