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Theorem remim 11596
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus  _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem remim
StepHypRef Expression
1 cjval 11581 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) ) )
2 replim 11595 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
32oveq1d 5834 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4 recl 11589 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54recnd 8856 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 ax-icn 8791 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
7 imcl 11590 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
87recnd 8856 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
9 mulcl 8816 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
106, 8, 9sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
115, 10, 5ppncand 9192 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  +  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
123, 11eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
134, 4readdcld 8857 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( Re
`  A ) )  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2358 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
155, 10, 10pnncand 9191 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162oveq1d 5834 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
176a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
1817, 8, 8adddid 8854 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1915, 16, 183eqtr4d 2326 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) )
2019oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
217, 7readdcld 8857 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )
2221recnd 8856 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )
23 mulass 8820 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) ) )
246, 6, 23mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2522, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2620, 25eqtr4d 2319 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) )
27 ixi 9392 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 1re 8832 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2928renegcli 9103 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
3027, 29eqeltri 2354 . . . . 5  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
31 remulcl 8817 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
3230, 21, 31sylancr 646 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  e.  RR )
3326, 32eqeltrd 2358 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  RR )
345, 10subcld 9152 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
35 cju 9737 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
36 oveq2 5827 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3736eleq1d 2350 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  RR ) )
38 oveq2 5827 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3938oveq2d 5835 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
4039eleq1d 2350 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) )
4137, 40anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4241riota2 6322 . . . 4  |-  ( ( ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( A  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4334, 35, 42syl2anc 644 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4414, 33, 43mpbi2and 889 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
451, 44eqtrd 2316 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   E!wreu 2546   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   iota_crio 6290   CCcc 8730   RRcr 8731   1c1 8733   _ici 8734    + caddc 8735    x. cmul 8737    - cmin 9032   -ucneg 9033   *ccj 11575   Recre 11576   Imcim 11577
This theorem is referenced by:  cjreb  11602  recj  11603  remullem  11607  imcj  11611  cjadd  11620  cjneg  11626  imval2  11630  cji  11638  remimd  11677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-2 9799  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580
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