Theorem remulcl 5318

Description: Closure law for multiplication of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
axri.1	|- A e. RR
axri.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
remulcl	|- (A x. B) e. RR

Proof of Theorem remulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axri.1	. 2 |- A e. RR
2		axri.2	. 2 |- B e. RR
3		axmulrcl 5257	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
4	1, 2, 3	mp2an 696	1 |- (A x. B) e. RR

Syntax hints:   e. wcel 957  (class class class)co 3958  RRcr 5216   x. cmul 5222

This theorem is referenced by:  mulge0 5591  msqge0 5598  ltmullem 5624  redivcl 5764  prodgt0lem 5784  prodge0 5786  ltmul1i 5787  ltmuldiv 5791  lt2msq 5839  le2msq 5840  msq11 5841  halfpos 5862  ledivp1 5864  ltdivp1 5865  nn0lele2x 6092  discrlem1 6601  discrlem2 6602  discrlem3 6603  nn0opthlem2 6610  sqr0 6617  sqrlem1 6618  sqrlem2 6619  sqrlem6 6623  sqrlem10 6627  sqrlem11 6628  sqrlem12 6629  sqrlem16 6633  sqrlem19 6636  sqrlem20 6637  sqrlem23 6640  sqrmuli 6649  sqrmsq2 6651  sqrmsq 6654  sqr2irrlem1 6669  sqr2irrlem4 6672  remul 6736  immul 6737  ipcn 6740  abstri 6844  faclbnd4lem1 6900  expcnvlem2 7180  cvgratlem1ALT 7199  efaddlem12 7308  efaddlem13 7309  efaddlem16 7312  efaddlem20 7316  efaddlem22 7318  efaddlem23 7319  efaddlem25 7321  absef01tllem 7345  eirrlem1 7347  eirrlem3 7349  efcnlem1 7376  efcnlem2 7377  sin01bndlem1 7426  cos2bnd 7434  sin4lt0 7440  ruclem1 7470  ruclem2 7471  ruclem3 7472  ruclem26 7495  siilem1 8470  minveclem21 8524  minveclem25 8528  minveclem26 8529  minveclem27 8530  minveclem38 8541  sinperlem1 8640  sincosq3sgn 8658  sincosq4sgn 8659  sincos4thpi 8662  cosh111lem1 8664  efif 8671  efifolem2 8673  efifolem3 8674  efifolem4 8675  efifolem6 8677  efifolem7 8678  efif1lem1 8680  efif1lem2 8681  efif1lem4 8683  efif1lem5 8684  efif1lem6 8685  efif1lem7 8686  circgrp 8695  shftefif1olem 8696  effoi 8700  efper 8702  normlem6 8936  normlem7 8937  norm-ii 8959  normpar2 8978  bcsALT 9001  projlem1 9141  projlem2 9142  projlem3 9143  projlem4 9144  projlem5 9145  projlem6 9146  projlem18 9158  projlem28 9168  nmopadjlem 9978  nmopco 9984  bdopco 9987  nmopcoadj 9990  unierr 9993

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-m1r 5156  df-c 5223  df-r 5227  df-mul 5229

Copyright terms: Public domain