Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rencldnfi Structured version   Unicode version

Theorem rencldnfi 26920
Description: A set of real numbers which comes arbitrarily close to some target yet excludes it is infinite. The work is done in rencldnfilem 26919 using infima; this theorem removes the requirement that A be non-empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rencldnfi  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  B  e.  A
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem rencldnfi
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  B  e.  A
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  A  C_  RR )
2 simpl2 962 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  B  e.  A
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  B  e.  RR )
3 rexn0 3754 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x  ->  A  =/=  (/) )
43ralimi 2787 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  A  =/=  (/) )
5 1rp 10647 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
6 ne0i 3619 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
7 r19.3rzv 3745 . . . . . 6  |-  ( RR+  =/=  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  <->  A. x  e.  RR+  A  =/=  (/) ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  <->  A. x  e.  RR+  A  =/=  (/) )
94, 8sylibr 205 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x  ->  A  =/=  (/) )
109adantl 454 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  B  e.  A
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  A  =/=  (/) )
11 simpl3 963 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  B  e.  A
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  B  e.  A )
1210, 11jca 520 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  B  e.  A
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )
13 simpr 449 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  B  e.  A
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
14 rencldnfilem 26919 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A )
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
151, 2, 12, 13, 14syl31anc 1188 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  B  e.  A
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712    C_ wss 3306   (/)c0 3613   class class class wbr 4237   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Fincfn 7138   RRcr 9020   1c1 9022    < clt 9151    - cmin 9322   RR+crp 10643   abscabs 12070
This theorem is referenced by:  irrapx1  26929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072
  Copyright terms: Public domain W3C validator