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Theorem rencldnfilem 26270
Description: Lemma for rencldnfi 26271. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rencldnfilem  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A )
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem rencldnfilem
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
a  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
21rexbidv 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  ( E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
32elrab 2898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  <->  ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
4 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
54ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
6 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  A )
75, 6sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  RR )
87recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  CC )
9 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
109ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
1110recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
128, 11subcld 9125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( b  -  B )  e.  CC )
13 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  -.  B  e.  A
)
1413ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  -.  B  e.  A )
15 nelneq 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  A  /\  -.  B  e.  A
)  ->  -.  b  =  B )
166, 14, 15syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  -.  b  =  B )
17 subeq0 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( b  -  B )  =  0  <-> 
b  =  B ) )
1817necon3abid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( b  -  B )  =/=  0  <->  -.  b  =  B ) )
198, 11, 18syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( (
b  -  B )  =/=  0  <->  -.  b  =  B ) )
2016, 19mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( b  -  B )  =/=  0
)
2112, 20absrpcld 11895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( abs `  ( b  -  B
) )  e.  RR+ )
22 eleq1 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  ->  ( c  e.  RR+  <->  ( abs `  (
b  -  B ) )  e.  RR+ )
)
2321, 22syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( c  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
2423rexlimdva 2642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  ->  ( E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
2524expimpd 589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
263, 25syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ->  c  e.  RR+ ) )
2726ssrdv 3160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR+ )
2827adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR+ )
29 abrexfi 7124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  e.  Fin )
30 df-rab 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  =  {
a  |  ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) }
31 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) )  ->  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
3231ss2abi 3220 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  |  ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }
3330, 32eqsstri 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }
34 ssfi 7051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin  /\ 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin )
3529, 33, 34sylancl 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin )
3635adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin )
37 simplrl 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  A  =/=  (/) )
38 n0 3439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
3937, 38sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. y  y  e.  A )
40 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  A  C_  RR )
4140ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
42 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
4341, 42sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
4443recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  CC )
45 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
4645ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
4746recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
4844, 47subcld 9125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  -  B )  e.  CC )
4948abscld 11883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  RR )
50 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( y  -  B ) )
51 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  y  ->  (
b  -  B )  =  ( y  -  B ) )
5251fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  B ) )  =  ( abs `  (
y  -  B ) ) )
5352eqeq2d 2269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  y  ->  (
( abs `  (
y  -  B ) )  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( y  -  B ) ) ) )
5453rcla4ev 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
y  -  B ) ) )  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
5550, 54mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
5655adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
57 eqeq1 2264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( abs `  (
y  -  B ) )  ->  ( a  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  <->  ( abs `  (
y  -  B ) )  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) ) )
5857rexbidv 2539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( abs `  (
y  -  B ) )  ->  ( E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  <->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) )
5958elrab 2898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  ( y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  <->  ( ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  RR  /\ 
E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) )
6049, 56, 59sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )
61 ne0i 3436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )
6362ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( y  e.  A  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  =/=  (/) ) )
6463exlimdv 1933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. y  y  e.  A  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  =/=  (/) ) )
6539, 64mpd 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  =/=  (/) )
66 ssrab2 3233 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  C_  RR
6766a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR )
68 ltso 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
69 cnvso 5201 . . . . . . . . . . 11  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
7068, 69mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  `'  <  Or  RR
71 fisupcl 7186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `'  <  Or  RR  /\  ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/)  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR ) )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )
7270, 71mpan 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/)  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )
7336, 65, 67, 72syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )
7428, 73sseldd 3156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
7566a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  C_  RR )
76 soss 4304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR  ->  ( `'  <  Or  RR  ->  `'  <  Or 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ) )
7766, 70, 76mp2 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `'  <  Or 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }
7877a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  `'  <  Or  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )
79 fisupg 7073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `'  <  Or  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )  ->  E. c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) ) )
8078, 36, 65, 79syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) ) )
8166sseli 3151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  c  e.  RR )
8266sseli 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  d  e.  RR )
83 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  c  e. 
_V
84 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  d  e. 
_V
8583, 84brcnv 4852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c `'  <  d  <->  d  <  c )
8685notbii 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  c `'  <  d  <->  -.  d  <  c )
87 lenlt 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( c  <_  d  <->  -.  d  <  c ) )
8887biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  d  < 
c  ->  c  <_  d ) )
8986, 88syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9089adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9182, 90sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  /\  d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9291ralimdva 2596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  ->  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  -.  c `'  <  d  ->  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } c  <_ 
d ) )
9392adantrd 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  ->  ( ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  A. d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } c  <_  d ) )
9481, 93sylan2 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )  -> 
( ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  A. d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } c  <_  d ) )
9594reximdva 2630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. c  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
) )
9680, 95mpd 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
)
9796adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  E. c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
)
98 lbinfmle 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR  /\  E. c  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d  /\  ( abs `  (
y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( y  -  B ) ) )
9975, 97, 60, 98syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  (
y  -  B ) ) )
10066, 73sseldi 3153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
101100adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
102101, 49lenltd 8933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  (
y  -  B ) )  <->  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
10399, 102mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
104103ralrimiva 2601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  A. y  e.  A  -.  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
105 breq2 4001 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x  <->  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
106105notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
107106ralbidv 2538 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  A. y  e.  A  -.  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
108107rcla4ev 2859 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x
)
10974, 104, 108syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
110 ralnex 2528 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x  <->  -.  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x
)
111110rexbii 2543 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  E. x  e.  RR+  -. 
E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
112 rexnal 2529 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )
113111, 112bitri 242 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )
114109, 113sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
115114ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A  e.  Fin  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x ) )
1161153impa 1151 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A  e.  Fin  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x ) )
117116con2d 109 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x  ->  -.  A  e.  Fin )
)
118117imp 420 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A )
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y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519   {crab 2522    C_ wss 3127   (/)c0 3430   class class class wbr 3997    Or wor 4285   `'ccnv 4660   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Fincfn 6831   supcsup 7161   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005   RR+crp 10321   abscabs 11684
This theorem is referenced by:  rencldnfi  26271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686
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