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Theorem rencldnfilem 26302
Description: Lemma for rencldnfi 26303. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rencldnfilem  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A )
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem rencldnfilem
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
a  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
21rexbidv 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  ( E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
32elrab 2924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  <->  ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
4 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
54ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
6 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  A )
75, 6sseldd 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  RR )
87recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  CC )
9 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
109ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
1110recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
128, 11subcld 9152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( b  -  B )  e.  CC )
13 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  -.  B  e.  A
)
1413ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  -.  B  e.  A )
15 nelneq 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  A  /\  -.  B  e.  A
)  ->  -.  b  =  B )
166, 14, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  -.  b  =  B )
17 subeq0 9068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( b  -  B )  =  0  <-> 
b  =  B ) )
1817necon3abid 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( b  -  B )  =/=  0  <->  -.  b  =  B ) )
198, 11, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( (
b  -  B )  =/=  0  <->  -.  b  =  B ) )
2016, 19mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( b  -  B )  =/=  0
)
2112, 20absrpcld 11924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( abs `  ( b  -  B
) )  e.  RR+ )
22 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  ->  ( c  e.  RR+  <->  ( abs `  (
b  -  B ) )  e.  RR+ )
)
2321, 22syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( c  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
2423rexlimdva 2668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  ->  ( E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
2524expimpd 588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
263, 25syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ->  c  e.  RR+ ) )
2726ssrdv 3186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR+ )
2827adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR+ )
29 abrexfi 7151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  e.  Fin )
30 df-rab 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  =  {
a  |  ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) }
31 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) )  ->  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
3231ss2abi 3246 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  |  ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }
3330, 32eqsstri 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }
34 ssfi 7078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin  /\ 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin )
3529, 33, 34sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin )
3635adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin )
37 simplrl 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  A  =/=  (/) )
38 n0 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
3937, 38sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. y  y  e.  A )
40 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  A  C_  RR )
4140ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
42 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
4341, 42sseldd 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
4443recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  CC )
45 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
4645ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
4746recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
4844, 47subcld 9152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  -  B )  e.  CC )
4948abscld 11912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  RR )
50 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( y  -  B ) )
51 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  y  ->  (
b  -  B )  =  ( y  -  B ) )
5251fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  B ) )  =  ( abs `  (
y  -  B ) ) )
5352eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  y  ->  (
( abs `  (
y  -  B ) )  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( y  -  B ) ) ) )
5453rspcev 2885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
y  -  B ) ) )  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
5550, 54mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
5655adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
57 eqeq1 2290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( abs `  (
y  -  B ) )  ->  ( a  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  <->  ( abs `  (
y  -  B ) )  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) ) )
5857rexbidv 2565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( abs `  (
y  -  B ) )  ->  ( E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  <->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) )
5958elrab 2924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  ( y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  <->  ( ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  RR  /\ 
E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) )
6049, 56, 59sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )
61 ne0i 3462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )
6362ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( y  e.  A  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  =/=  (/) ) )
6463exlimdv 1665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. y  y  e.  A  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  =/=  (/) ) )
6539, 64mpd 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  =/=  (/) )
66 ssrab2 3259 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  C_  RR
6766a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR )
68 ltso 8898 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
69 cnvso 5212 . . . . . . . . . . 11  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
7068, 69mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  `'  <  Or  RR
71 fisupcl 7213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `'  <  Or  RR  /\  ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/)  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR ) )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )
7270, 71mpan 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/)  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )
7336, 65, 67, 72syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )
7428, 73sseldd 3182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
7566a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  C_  RR )
76 soss 4331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR  ->  ( `'  <  Or  RR  ->  `'  <  Or 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ) )
7766, 70, 76mp2 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `'  <  Or 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }
7877a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  `'  <  Or  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )
79 fisupg 7100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `'  <  Or  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )  ->  E. c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) ) )
8078, 36, 65, 79syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) ) )
8166sseli 3177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  c  e.  RR )
8266sseli 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  d  e.  RR )
83 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  c  e. 
_V
84 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  d  e. 
_V
8583, 84brcnv 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c `'  <  d  <->  d  <  c )
8685notbii 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  c `'  <  d  <->  -.  d  <  c )
87 lenlt 8896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( c  <_  d  <->  -.  d  <  c ) )
8887biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  d  < 
c  ->  c  <_  d ) )
8986, 88syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9089adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9182, 90sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  /\  d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9291ralimdva 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  ->  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  -.  c `'  <  d  ->  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } c  <_ 
d ) )
9392adantrd 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  ->  ( ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  A. d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } c  <_  d ) )
9481, 93sylan2 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )  -> 
( ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  A. d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } c  <_  d ) )
9594reximdva 2656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. c  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
) )
9680, 95mpd 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
)
9796adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  E. c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
)
98 lbinfmle 9704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR  /\  E. c  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d  /\  ( abs `  (
y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( y  -  B ) ) )
9975, 97, 60, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  (
y  -  B ) ) )
10066, 73sseldi 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
101100adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
102101, 49lenltd 8960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  (
y  -  B ) )  <->  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
10399, 102mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
104103ralrimiva 2627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  A. y  e.  A  -.  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
105 breq2 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x  <->  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
106105notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
107106ralbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  A. y  e.  A  -.  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
108107rspcev 2885 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x
)
10974, 104, 108syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
110 ralnex 2554 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x  <->  -.  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x
)
111110rexbii 2569 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  E. x  e.  RR+  -. 
E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
112 rexnal 2555 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )
113111, 112bitri 242 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )
114109, 113sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
115114ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A  e.  Fin  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x ) )
1161153impa 1148 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A  e.  Fin  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x ) )
117116con2d 109 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x  ->  -.  A  e.  Fin )
)
118117imp 420 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A )
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2270    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545   {crab 2548    C_ wss 3153   (/)c0 3456   class class class wbr 4024    Or wor 4312   `'ccnv 4687   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Fincfn 6858   supcsup 7188   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   RR+crp 10349   abscabs 11713
This theorem is referenced by:  rencldnfi  26303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715
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