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Theorem rencldnfilem 27006
Description: Lemma for rencldnfi 27007. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rencldnfilem  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A )
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem rencldnfilem
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
a  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
21rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  ( E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
32elrab 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  <->  ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) )
4 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
54ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
6 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  A )
75, 6sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  RR )
87recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  b  e.  CC )
9 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
109ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
1110recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
128, 11subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( b  -  B )  e.  CC )
13 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  -.  B  e.  A
)
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  -.  B  e.  A )
15 nelneq 2394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  A  /\  -.  B  e.  A
)  ->  -.  b  =  B )
166, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  -.  b  =  B )
17 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( b  -  B )  =  0  <-> 
b  =  B ) )
1817necon3abid 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( b  -  B )  =/=  0  <->  -.  b  =  B ) )
198, 11, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( (
b  -  B )  =/=  0  <->  -.  b  =  B ) )
2016, 19mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( b  -  B )  =/=  0
)
2112, 20absrpcld 11946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( abs `  ( b  -  B
) )  e.  RR+ )
22 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  ->  ( c  e.  RR+  <->  ( abs `  (
b  -  B ) )  e.  RR+ )
)
2321, 22syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  /\  b  e.  A
)  ->  ( c  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
2423rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  c  e.  RR )  ->  ( E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
2524expimpd 586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  A  c  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )  ->  c  e.  RR+ ) )
263, 25syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ->  c  e.  RR+ ) )
2726ssrdv 3198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR+ )
2827adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR+ )
29 abrexfi 7172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  e.  Fin )
30 df-rab 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  =  {
a  |  ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) }
31 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) )  ->  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
3231ss2abi 3258 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  |  ( a  e.  RR  /\  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }
3330, 32eqsstri 3221 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }
34 ssfi 7099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin  /\ 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin )
3529, 33, 34sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  e.  Fin )
3635adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin )
37 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  A  =/=  (/) )
38 n0 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
3937, 38sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. y  y  e.  A )
40 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  A  C_  RR )
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
42 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
4341, 42sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
4443recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  CC )
45 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
4746recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
4844, 47subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  -  B )  e.  CC )
4948abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  RR )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( y  -  B ) )
51 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  y  ->  (
b  -  B )  =  ( y  -  B ) )
5251fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  B ) )  =  ( abs `  (
y  -  B ) ) )
5352eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  y  ->  (
( abs `  (
y  -  B ) )  =  ( abs `  ( b  -  B
) )  <->  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( y  -  B ) ) ) )
5453rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
y  -  B ) ) )  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
5550, 54mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
5655adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) )
57 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( abs `  (
y  -  B ) )  ->  ( a  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  <->  ( abs `  (
y  -  B ) )  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) ) )
5857rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( abs `  (
y  -  B ) )  ->  ( E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) )  <->  E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) )
5958elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  ( y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  <->  ( ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  RR  /\ 
E. b  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) ) )
6049, 56, 59sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( abs `  ( y  -  B
) )  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )
61 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )
6362ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( y  e.  A  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  =/=  (/) ) )
6463exlimdv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. y  y  e.  A  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  =/=  (/) ) )
6539, 64mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  =/=  (/) )
66 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  C_  RR
6766a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR )
68 ltso 8919 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
69 cnvso 5230 . . . . . . . . . . 11  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
7068, 69mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  `'  <  Or  RR
71 fisupcl 7234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `'  <  Or  RR  /\  ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/)  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR ) )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )
7270, 71mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/)  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } )
7336, 65, 67, 72syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )
7428, 73sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
7566a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  C_  RR )
76 soss 4348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR  ->  ( `'  <  Or  RR  ->  `'  <  Or 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ) )
7766, 70, 76mp2 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `'  <  Or 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }
7877a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  `'  <  Or  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )
79 fisupg 7121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `'  <  Or  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  /\  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  =/=  (/) )  ->  E. c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) ) )
8078, 36, 65, 79syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) ) )
8166sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  c  e.  RR )
8266sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ->  d  e.  RR )
83 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  c  e. 
_V
84 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  d  e. 
_V
8583, 84brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c `'  <  d  <->  d  <  c )
8685notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  c `'  <  d  <->  -.  d  <  c )
87 lenlt 8917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( c  <_  d  <->  -.  d  <  c ) )
8887biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  d  < 
c  ->  c  <_  d ) )
8986, 88syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9089adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  /\  d  e.  RR )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9182, 90sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  /\  d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } )  ->  ( -.  c `'  <  d  ->  c  <_  d ) )
9291ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  ->  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  -.  c `'  <  d  ->  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } c  <_ 
d ) )
9392adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  RR )  ->  ( ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  A. d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } c  <_  d ) )
9481, 93sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )  -> 
( ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  A. d  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } c  <_  d ) )
9594reximdva 2668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. c  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  ( A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) }  -.  c `'  <  d  /\  A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) }  ( d `'  <  c  ->  E. x  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } d `'  <  x ) )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
) )
9680, 95mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  {
a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
)
9796adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  E. c  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d
)
98 lbinfmle 9725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) }  C_  RR  /\  E. c  e. 
{ a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } A. d  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } c  <_  d  /\  ( abs `  (
y  -  B ) )  e.  { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( y  -  B ) ) )
9975, 97, 60, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  (
y  -  B ) ) )
10066, 73sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
101100adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
102101, 49lenltd 8981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  ( sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  (
y  -  B ) )  <->  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
10399, 102mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
104103ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  A. y  e.  A  -.  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
105 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x  <->  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
106105notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
107106ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  A. y  e.  A  -.  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
108107rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  (
b  -  B ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  sup ( { a  e.  RR  |  E. b  e.  A  a  =  ( abs `  ( b  -  B
) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x
)
10974, 104, 108syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
110 ralnex 2566 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x  <->  -.  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B
) )  <  x
)
111110rexbii 2581 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  E. x  e.  RR+  -. 
E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
112 rexnal 2567 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )
113111, 112bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  A  -.  ( abs `  ( y  -  B ) )  < 
x  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )
114109, 113sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x )
115114ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A  e.  Fin  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x ) )
1161153impa 1146 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A  e.  Fin  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x ) )
117116con2d 107 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A ) )  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  ( y  -  B ) )  <  x  ->  -.  A  e.  Fin )
)
118117imp 418 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  -.  B  e.  A )
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  A  ( abs `  (
y  -  B ) )  <  x )  ->  -.  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    Or wor 4329   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  rencldnfi  27007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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