MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Unicode version

Theorem renegcl 9112
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3608 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9110, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9046 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2351 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 8839 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3619 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9110 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3608 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686   ifcif 3567   RRcr 8738   1c1 8740   -ucneg 9040
This theorem is referenced by:  resubcl  9113  negreb  9114  renegcld  9212  ltnegcon1  9277  ltnegcon2  9278  lenegcon1  9280  lenegcon2  9281  mullt0  9295  infm3lem  9714  infm3  9715  riotaneg  9731  infmrcl  9735  elnnz  10036  btwnz  10116  ublbneg  10304  negn0  10306  supminf  10307  uzwo3  10313  zmax  10315  rebtwnz  10317  rpneg  10385  max0sub  10525  xnegcl  10542  xnegneg  10543  xltnegi  10545  rexsub  10562  xnegid  10565  xnegdi  10570  xpncan  10573  xnpcan  10574  xadddi  10617  iooneg  10758  iccneg  10759  icoshftf1o  10761  ceicl  10957  ceige  10958  ceim1l  10959  negmod0  10981  crim  11602  cnpart  11727  sqrneglem  11754  absnid  11785  max0add  11797  absdiflt  11803  absdifle  11804  sqreulem  11845  resinhcl  12438  rpcoshcl  12439  tanhlt1  12442  tanhbnd  12443  resubdrg  16425  cnheiborlem  18454  evth2  18460  ismbf3d  19011  mbfinf  19022  itgconst  19175  reeff1o  19825  atanbnd  20224  readdsubgo  21022  mulge0b  24088  mulle0b  24089  ltflcei  24930  areacirclem4  24938  areacirclem1  24939  areacirc  24942  mulltgt0  27704  stoweidlem1  27761  stoweidlem7  27767  stoweidlem10  27770  stoweidlem13  27773  stoweidlem22  27782  stoweidlem23  27783  stoweidlem34  27794  stoweidlem42  27802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874  df-sub 9041  df-neg 9042
  Copyright terms: Public domain W3C validator