Theorem renegcl 5339

Description: Closure law for negative of reals.

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- -uA e. RR

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 |- A e. RR
2		axrnegex 5206	. . . 4 |- (A e. RR -> E.x e. RR (A + x) = 0)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- E.x e. RR (A + x) = 0
4		df-rex 1626	. . 3 |- (E.x e. RR (A + x) = 0 <-> E.x(x e. RR /\ (A + x) = 0))
5	3, 4	mpbi 189	. 2 |- E.x(x e. RR /\ (A + x) = 0)
6		recnt 5236	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> x e. CC)
7		0cn 5251	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
8	1	recn 5237	. . . . . . . 8 |- A e. CC
9		subaddt 5298	. . . . . . . 8 |- ((0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC) -> ((0 - A) = x <-> (A + x) = 0))
10	7, 8, 9	mp3an12 902	. . . . . . 7 |- (x e. CC -> ((0 - A) = x <-> (A + x) = 0))
11	6, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. RR -> ((0 - A) = x <-> (A + x) = 0))
12		df-neg 5281	. . . . . . 7 |- -uA = (0 - A)
13	12	eqeq1i 1458	. . . . . 6 |- (-uA = x <-> (0 - A) = x)
14	11, 13	syl5bb 530	. . . . 5 |- (x e. RR -> (-uA = x <-> (A + x) = 0))
15		eleq1a 1519	. . . . 5 |- (x e. RR -> (-uA = x -> -uA e. RR))
16	14, 15	sylbird 205	. . . 4 |- (x e. RR -> ((A + x) = 0 -> -uA e. RR))
17	16	imp 350	. . 3 |- ((x e. RR /\ (A + x) = 0) -> -uA e. RR)
18	17	19.23aiv 1277	. 2 |- (E.x(x e. RR /\ (A + x) = 0) -> -uA e. RR)
19	5, 18	ax-mp 7	1 |- -uA e. RR

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  E.wrex 1622  (class class class)co 3902  CCcc 5155  RRcr 5156  0cc0 5157   + caddc 5160   - cmin 5215  -ucneg 5216

This theorem is referenced by:  renegclt 5360  ltsubadd 5519  ltneg 5528  leneg 5529  ltnegcon2 5530  lesub0 5537  msqgt0 5538  recgt0i 5721  prodge0 5727  elnnz1 6053  icoshftf1oi 6293  bernneq 6534  discrlem1 6537  discrlem3 6539  sqrlem11 6564  inelr 6616  crulem 6617  crrecz 6623  nthruz 6628  cjcj 6664  recj 6668  imcj 6669  reneg 6680  imneg 6682  abslt 6761  absle 6762  absltOLD 6763  absleOLD 6764  infcvglem1 7107  infcvglem2 7108  infcvglem3 7109  dsupivthlem 7177  efgt0 7296  eflegeolem2 7305  sincos2sgn 7373  znnen 7396  ipid 8232  ipasslem10 8365  minveclem12 8422  pilem1 8503  pilem2 8504  pilem3 8505  efifolem1 8550  efifolem4 8553  efifolem5 8554  eff1o 8583  resslogrn 8588  pilog 8603  hisubcom 9119  normlem2 9126  normlem9 9133  projlem5 9320  projlem8 9323  projlem11 9326  projlem13 9328  projlem15 9330  hmopdt 10076

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-sub 5279  df-neg 5281

Copyright terms: Public domain