MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Unicode version

Theorem renegcl 9200
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3682 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9198, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9134 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2424 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 8927 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3693 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9198 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3682 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   ifcif 3641   RRcr 8826   1c1 8828   -ucneg 9128
This theorem is referenced by:  resubcl  9201  negreb  9202  renegcld  9300  ltnegcon1  9365  ltnegcon2  9366  lenegcon1  9368  lenegcon2  9369  mullt0  9383  infm3lem  9802  infm3  9803  riotaneg  9819  infmrcl  9823  elnnz  10126  btwnz  10206  ublbneg  10394  negn0  10396  supminf  10397  uzwo3  10403  zmax  10405  rebtwnz  10407  rpneg  10475  max0sub  10615  xnegcl  10632  xnegneg  10633  xltnegi  10635  rexsub  10652  xnegid  10655  xnegdi  10660  xpncan  10663  xnpcan  10664  xadddi  10707  iooneg  10848  iccneg  10849  icoshftf1o  10851  ceicl  11047  ceige  11048  ceim1l  11049  negmod0  11071  crim  11696  cnpart  11821  sqrneglem  11848  absnid  11879  max0add  11891  absdiflt  11897  absdifle  11898  sqreulem  11939  resinhcl  12533  rpcoshcl  12534  tanhlt1  12537  tanhbnd  12538  resubdrg  16529  cnheiborlem  18556  evth2  18562  ismbf3d  19113  mbfinf  19124  itgconst  19277  reeff1o  19930  atanbnd  20333  readdsubgo  21132  remulg  23436  mulge0b  24492  mulle0b  24493  ltflcei  25485  iblabsnclem  25503  areacirclem4  25519  areacirclem1  25520  areacirc  25523  mulltgt0  27016  stoweidlem1  27073  stoweidlem7  27079  stoweidlem10  27082  stoweidlem13  27085  stoweidlem22  27094  stoweidlem23  27095  stoweidlem34  27106  stoweidlem42  27114
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-ltxr 8962  df-sub 9129  df-neg 9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator