Theorem renegcl 5591

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 2437 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 5570, to an antecedent.

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- (A e. RR -> -uA e. RR)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 5513	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 1) -> -uA = -uif(A e. RR, A, 1))
2	1	eleq1d 1583	. 2 |- (A = if(A e. RR, A, 1) -> (-uA e. RR <-> -uif(A e. RR, A, 1) e. RR))
3		1re 5589	. . . 4 |- 1 e. RR
4	3	elimel 2451	. . 3 |- if(A e. RR, A, 1) e. RR
5	4	renegcli 5570	. 2 |- -uif(A e. RR, A, 1) e. RR
6	2, 5	dedth 2437	1 |- (A e. RR -> -uA e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 992   e. wcel 994  ifcif 2415  RRcr 5387  1c1 5389  -ucneg 5447

This theorem is referenced by:  resubcl 5592  ltnegcon1 5810  lenegcon1 5812  lenegcon2 5813  lesub1 5814  lesub2 5815  ltsub1 5816  ltsub2 5817  subge0 5828  mullt0 5835  rpneg 6211  infm3lem 6221  infm3 6222  reuuninegi 6234  infmsup 6236  infmrcl 6237  nnnegz 6306  elnnz 6313  elnnz1 6323  zaddcl 6333  btwnz 6387  zmax 6392  rebtwnz 6394  ceicl 6447  ceige 6448  ceim1l 6449  iooneg 6533  iccneg 6534  discrlem2 6858  imre 6974  negrebi 6996  cj11OLD 7032  absnid 7065  absdiflt 7086  absdifle 7087  climge0 7315  caucvglem2 7361  caucvglem5 7364  infcvgaux1i 7423  infcvglem1 7425  dsupivthlem 7496  reeff1o 7634  sin01bndlem3 7678  cos01bndlem3 7680  absefib 7693  efieq1re 7694  znnen 7714  readdsubg 8370  nvabs 8548  pilem1 8938  pilem3 8940  shftefif1olem 9013  projlem10 9471  absrdbnd 11870  negmod0 11872  iccbnd 12082

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-sub 5510  df-neg 5512

Copyright terms: Public domain