MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Unicode version

Theorem renegcl 9106
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3607 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9104, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9040 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2350 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 8833 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3618 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9104 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3607 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1685   ifcif 3566   RRcr 8732   1c1 8734   -ucneg 9034
This theorem is referenced by:  resubcl  9107  negreb  9108  renegcld  9206  ltnegcon1  9271  ltnegcon2  9272  lenegcon1  9274  lenegcon2  9275  mullt0  9289  infm3lem  9708  infm3  9709  riotaneg  9725  infmrcl  9729  elnnz  10030  btwnz  10110  ublbneg  10298  negn0  10300  supminf  10301  uzwo3  10307  zmax  10309  rebtwnz  10311  rpneg  10379  max0sub  10519  xnegcl  10536  xnegneg  10537  xltnegi  10539  rexsub  10556  xnegid  10559  xnegdi  10564  xpncan  10567  xnpcan  10568  xadddi  10611  iooneg  10752  iccneg  10753  icoshftf1o  10755  ceicl  10951  ceige  10952  ceim1l  10953  negmod0  10975  crim  11596  cnpart  11721  sqrneglem  11748  absnid  11779  max0add  11791  absdiflt  11797  absdifle  11798  sqreulem  11839  resinhcl  12432  rpcoshcl  12433  tanhlt1  12436  tanhbnd  12437  resubdrg  16419  cnheiborlem  18448  evth2  18454  ismbf3d  19005  mbfinf  19016  itgconst  19169  reeff1o  19819  atanbnd  20218  readdsubgo  21014  mulge0b  23492  mulle0b  23493  areacirclem4  24337  areacirclem1  24338  areacirc  24341  mulltgt0  27104  stoweidlem1  27161  stoweidlem7  27167  stoweidlem10  27170  stoweidlem13  27173  stoweidlem22  27182  stoweidlem23  27183  stoweidlem34  27194  stoweidlem42  27202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator