Theorem renegclt 5360

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 2354 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcl 5339, to an antecedent.

Assertion

Ref	Expression
renegclt	|- (A e. RR -> -uA e. RR)

Proof of Theorem renegclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 5282	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 1) -> -uA = -uif(A e. RR, A, 1))
2	1	eleq1d 1516	. 2 |- (A = if(A e. RR, A, 1) -> (-uA e. RR <-> -uif(A e. RR, A, 1) e. RR))
3		1re 5358	. . . 4 |- 1 e. RR
4	3	elimel 2365	. . 3 |- if(A e. RR, A, 1) e. RR
5	4	renegcl 5339	. 2 |- -uif(A e. RR, A, 1) e. RR
6	2, 5	dedth 2354	1 |- (A e. RR -> -uA e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1099   e. wcel 1105  ifcif 2332  RRcr 5156  1c1 5158  -ucneg 5216

This theorem is referenced by:  resubclt 5361  ltnegcon1t 5580  lenegcon1t 5582  lenegcon2t 5583  lesub1t 5584  lesub2t 5585  ltsub1t 5586  ltsub2t 5587  subge0t 5598  infm3lem 5951  infm3 5952  reuunineg 5964  infmsup 5966  infmrcl 5967  nnnegz 6036  elnnz 6043  elnnz1 6053  zaddclt 6063  btwnz 6114  zmax 6119  rebtwnz 6121  ceiclt 6141  ceiget 6142  ceim1lt 6143  ioonegt 6290  iccnegt 6291  discrlem2 6538  imret 6661  negreb 6681  cj11t 6716  absnidt 6749  absdifltt 6772  absdiflet 6773  climge0 7000  caucvglem2 7045  caucvglem5 7048  infcvgaux1 7105  infcvglem1 7107  dsupivthlem 7177  reeff1o 7319  sin01bndlem3 7362  cos01bndlem3 7364  znnen 7396  readdsubg 8014  nvabs 8177  pilem1 8503  pilem3 8505  shftefif1olem 8574  shftefif1olemOLD 8575  projlem10 9325

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-sub 5279  df-neg 5281

Copyright terms: Public domain