Theorem renfdisj 5512

Description: The reals and the infinities are disjoint.

Assertion

Ref	Expression
renfdisj	|- (RR i^i { +oo, -oo}) = (/)

Proof of Theorem renfdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 2403	. . 3 |- { +oo, -oo} = ({ +oo} u. { -oo})
2	1	ineq2i 2204	. 2 |- (RR i^i { +oo, -oo}) = (RR i^i ({ +oo} u. { -oo}))
3		eqid 1468	. . . . . 6 |- +oo = +oo
4		renepnft 5510	. . . . . . 7 |- ( +oo e. RR -> +oo =/= +oo)
5		df-ne 1579	. . . . . . 7 |- ( +oo =/= +oo <-> -. +oo = +oo)
6	4, 5	sylib 198	. . . . . 6 |- ( +oo e. RR -> -. +oo = +oo)
7	3, 6	mt2 109	. . . . 5 |- -. +oo e. RR
8		disjsn 2431	. . . . 5 |- ((RR i^i { +oo}) = (/) <-> -. +oo e. RR)
9	7, 8	mpbir 190	. . . 4 |- (RR i^i { +oo}) = (/)
10		eqid 1468	. . . . . 6 |- -oo = -oo
11		renemnft 5511	. . . . . . 7 |- ( -oo e. RR -> -oo =/= -oo)
12		df-ne 1579	. . . . . . 7 |- ( -oo =/= -oo <-> -. -oo = -oo)
13	11, 12	sylib 198	. . . . . 6 |- ( -oo e. RR -> -. -oo = -oo)
14	10, 13	mt2 109	. . . . 5 |- -. -oo e. RR
15		disjsn 2431	. . . . 5 |- ((RR i^i { -oo}) = (/) <-> -. -oo e. RR)
16	14, 15	mpbir 190	. . . 4 |- (RR i^i { -oo}) = (/)
17	9, 16	pm3.2i 285	. . 3 |- ((RR i^i { +oo}) = (/) /\ (RR i^i { -oo}) = (/))
18		undisj2 2311	. . 3 |- (((RR i^i { +oo}) = (/) /\ (RR i^i { -oo}) = (/)) <-> (RR i^i ({ +oo} u. { -oo})) = (/))
19	17, 18	mpbi 189	. 2 |- (RR i^i ({ +oo} u. { -oo})) = (/)
20	2, 19	eqtr 1487	1 |- (RR i^i { +oo, -oo}) = (/)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   u. cun 2035   i^i cin 2036  (/)c0 2270  {csn 2399  {cpr 2400  RRcr 5205   +oocpnf 5455   -oocmnf 5456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-enr 5138  df-nr 5139  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-pnf 5459  df-mnf 5460

Copyright terms: Public domain