MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rereb Unicode version

Theorem rereb 11884
Description: A number is real iff it equals its real part. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 20-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
rereb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem rereb
StepHypRef Expression
1 replim 11880 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
3 reim0 11882 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
43oveq2d 6060 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 9009 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 9216 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6eq 2456 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  0 )
87adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  =  0 )
98oveq2d 6060 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  0 ) )
10 recl 11874 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1110recnd 9074 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
1211addid1d 9226 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  +  0 )  =  ( Re
`  A ) )
142, 9, 133eqtrrd 2445 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
15 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  -> 
( Re `  A
)  =  A )
1610adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
1715, 16eqeltrrd 2483 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  ->  A  e.  RR )
1814, 17impbida 806 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   _ici 8952    + caddc 8953    x. cmul 8955   Recre 11861   Imcim 11862
This theorem is referenced by:  mulre  11885  rere  11886  rerebi  11937  rerebd  11965  rennim  12003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-2 10018  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865
  Copyright terms: Public domain W3C validator