MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rereb Unicode version

Theorem rereb 11601
Description: A number is real iff it equals its real part. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 20-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
rereb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem rereb
StepHypRef Expression
1 replim 11597 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
3 reim0 11599 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
43oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 8792 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 8998 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6eq 2332 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  0 )
87adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  =  0 )
98oveq2d 5836 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  0 ) )
10 recl 11591 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1110recnd 8857 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
1211addid1d 9008 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
1312adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  +  0 )  =  ( Re
`  A ) )
142, 9, 133eqtrrd 2321 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
15 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  -> 
( Re `  A
)  =  A )
1610adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
1715, 16eqeltrrd 2359 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  ->  A  e.  RR )
1814, 17impbida 805 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   _ici 8735    + caddc 8736    x. cmul 8738   Recre 11578   Imcim 11579
This theorem is referenced by:  mulre  11602  rere  11603  rerebi  11654  rerebd  11682  rennim  11720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-2 9800  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator