MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rereb Unicode version

Theorem rereb 11571
Description: A number is real iff it equals its real part. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 20-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
rereb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem rereb
StepHypRef Expression
1 replim 11567 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
3 reim0 11569 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
43oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 8764 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 8970 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6eq 2306 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  0 )
87adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  =  0 )
98oveq2d 5808 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  0 ) )
10 recl 11561 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1110recnd 8829 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
1211addid1d 8980 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
1312adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  +  0 )  =  ( Re
`  A ) )
142, 9, 133eqtrrd 2295 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
15 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  -> 
( Re `  A
)  =  A )
1610adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
1715, 16eqeltrrd 2333 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  ->  A  e.  RR )
1814, 17impbida 808 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   _ici 8707    + caddc 8708    x. cmul 8710   Recre 11548   Imcim 11549
This theorem is referenced by:  mulre  11572  rere  11573  rerebi  11624  rerebd  11652  rennim  11690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-2 9772  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552
  Copyright terms: Public domain W3C validator