MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Unicode version

Theorem rescbas 14031
Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
rescbas  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 13513 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 9092 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1nn 10013 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4 4nn0 10242 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
5 1nn0 10239 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
6 1lt10 10188 . . . . . 6  |-  1  <  10
73, 4, 5, 6declti 10409 . . . . 5  |-  1  < ; 1
4
82, 7ltneii 9188 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 4
9 basendx 13516 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
10 homndx 13644 . . . . 5  |-  (  Hom  `  ndx )  = ; 1 4
119, 10neeq12i 2615 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  (  Hom  `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 4 )
128, 11mpbir 202 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (  Hom  `  ndx )
131, 12setsnid 13511 . 2  |-  ( Base `  ( Cs  S ) )  =  ( Base `  (
( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
14 rescbas.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
15 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
16 rescbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
1715, 16ressbas2 13522 . . 3  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
1814, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
19 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
20 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
21 fvex 5744 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
2216, 21eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322ssex 4349 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2414, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
25 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2619, 20, 24, 25rescval2 14030 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
2726fveq2d 5734 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  ( Base `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2813, 18, 273eqtr4a 2496 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   <.cop 3819    X. cxp 4878    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1c1 8993   4c4 10053  ;cdc 10384   ndxcnx 13468   sSet csts 13469   Basecbs 13471   ↾s cress 13472    Hom chom 13542    |`cat cresc 14010
This theorem is referenced by:  reschomf  14033  subccatid  14045  issubc3  14048  fullresc  14050  funcres  14095  funcres2b  14096  funcres2  14097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-hom 13555  df-resc 14013
  Copyright terms: Public domain W3C validator