MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Unicode version

Theorem rescco 13709
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
rescco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
Assertion
Ref Expression
rescco  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 rescbas.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2 rescbas.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
42, 3eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
54ssex 4158 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
61, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
8 rescco.o . . . . 5  |-  .x.  =  (comp `  C )
9 df-cco 13233 . . . . 5  |- comp  = Slot ; 1 5
10 1nn0 9981 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
11 5nn 9880 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
1210, 11decnncl 10137 . . . . 5  |- ; 1 5  e.  NN
13 1nn 9757 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
14 5nn0 9985 . . . . . 6  |-  5  e.  NN0
15 1lt10 9930 . . . . . 6  |-  1  <  10
1613, 14, 10, 15declti 10149 . . . . 5  |-  1  < ; 1
5
177, 8, 9, 12, 16resslem 13201 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
186, 17syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
199, 12ndxid 13169 . . . 4  |- comp  = Slot  (comp ` 
ndx )
20 4nn 9879 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
2110, 20decnncl 10137 . . . . . . 7  |- ; 1 4  e.  NN
2221nnrei 9755 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  RR
23 4nn0 9984 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
24 4lt5 9892 . . . . . . 7  |-  4  <  5
2510, 23, 11, 24declt 10145 . . . . . 6  |- ; 1 4  < ; 1 5
2622, 25gtneii 8930 . . . . 5  |- ; 1 5  =/= ; 1 4
279, 12ndxarg 13168 . . . . . 6  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
28 df-hom 13232 . . . . . . 7  |-  Hom  = Slot ; 1 4
2928, 21ndxarg 13168 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  ndx )  = ; 1 4
3027, 29neeq12i 2458 . . . . 5  |-  ( (comp `  ndx )  =/=  (  Hom  `  ndx )  <-> ; 1 5  =/= ; 1 4 )
3126, 30mpbir 200 . . . 4  |-  (comp `  ndx )  =/=  (  Hom  `  ndx )
3219, 31setsnid 13188 . . 3  |-  (comp `  ( Cs  S ) )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3318, 32syl6eq 2331 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
34 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
35 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
36 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
3734, 35, 6, 36rescval2 13705 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3837fveq2d 5529 . 2  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
3933, 38eqtr4d 2318 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738   4c4 9797   5c5 9798  ;cdc 10124   ndxcnx 13145   sSet csts 13146   Basecbs 13148   ↾s cress 13149    Hom chom 13219  compcco 13220    |`cat cresc 13685
This theorem is referenced by:  subccatid  13720  issubc3  13723  fullresc  13725  funcres  13770  funcres2b  13771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-hom 13232  df-cco 13233  df-resc 13688
  Copyright terms: Public domain W3C validator