MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschom Unicode version

Theorem reschom 13723
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
reschom  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  D ) )

Proof of Theorem reschom
StepHypRef Expression
1 ovex 5899 . . 3  |-  ( Cs  S )  e.  _V
2 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
3 rescbas.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
4 rescbas.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  C
)
5 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  C )  e.  _V
64, 5eqeltri 2366 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
76ssex 4174 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
83, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
9 xpexg 4816 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
108, 8, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
11 fnex 5757 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( S  X.  S )  /\  ( S  X.  S
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
122, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
13 df-hom 13248 . . . . 5  |-  Hom  = Slot ; 1 4
14 1nn0 9997 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
15 4nn 9895 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
1614, 15decnncl 10153 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  NN
1713, 16ndxid 13185 . . . 4  |-  Hom  = Slot  (  Hom  `  ndx )
1817setsid 13203 . . 3  |-  ( ( ( Cs  S )  e.  _V  /\  H  e.  _V )  ->  H  =  (  Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
191, 12, 18sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
20 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
21 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
2220, 21, 8, 2rescval2 13721 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
2322fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  (  Hom  `  D
)  =  (  Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2419, 23eqtr4d 2331 1  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   <.cop 3656    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754   4c4 9813  ;cdc 10140   ndxcnx 13161   sSet csts 13162   Basecbs 13164   ↾s cress 13165    Hom chom 13235    |`cat cresc 13701
This theorem is referenced by:  reschomf  13724  subccatid  13736  issubc3  13739  fullresc  13741  funcres  13786  funcres2b  13787  funcres2  13788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-dec 10141  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-sets 13170  df-hom 13248  df-resc 13704
  Copyright terms: Public domain W3C validator