Theorem resiexg 3393

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 3576).

Assertion

Ref	Expression
resiexg	|- (A e. B -> (I |` A) e. V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 3256	. . 3 |- ((A e. B /\ A e. B) -> (A X. A) e. V)
2	1	anidms 434	. 2 |- (A e. B -> (A X. A) e. V)
3		relres 3384	. . . 4 |- Rel (I |` A)
4		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((x = y /\ x e. A) -> x e. A)
5		eleq1 1533	. . . . . . 7 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
6	5	biimpa 416	. . . . . 6 |- ((x = y /\ x e. A) -> y e. A)
7	4, 6	jca 288	. . . . 5 |- ((x = y /\ x e. A) -> (x e. A /\ y e. A))
8		visset 1811	. . . . . . 7 |- y e. V
9	8	opelres 3369	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (I |` A) <-> (<.x, y>. e. I /\ x e. A))
10		df-br 2617	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
11	8	ideq 3274	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> x = y)
12	10, 11	bitr3 175	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. I <-> x = y)
13	12	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. I /\ x e. A) <-> (x = y /\ x e. A))
14	9, 13	bitr 173	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (I |` A) <-> (x = y /\ x e. A))
15	8	opelxp 3211	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A X. A) <-> (x e. A /\ y e. A))
16	7, 14, 15	3imtr4 219	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (I |` A) -> <.x, y>. e. (A X. A))
17	3, 16	relssi 3245	. . 3 |- (I |` A) (_ (A X. A)
18		ssexg 2718	. . 3 |- (((I |` A) (_ (A X. A) /\ (A X. A) e. V) -> (I |` A) e. V)
19	17, 18	mpan 694	. 2 |- ((A X. A) e. V -> (I |` A) e. V)
20	2, 19	syl 10	1 |- (A e. B -> (I |` A) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809   (_ wss 2045  <.cop 2409   class class class wbr 2616  Icid 2828   X. cxp 3165   |` cres 3169

This theorem is referenced by:  enrefg 4384  facnnt 6899  fac0 6900  acdc2lem2 7467  acdc5lem2 7470  idhme 10503  hmphre 10511  idfisf 10705

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-res 3187

Copyright terms: Public domain