Theorem resoprab 4015

Description: Restriction of an operation class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
resoprab	|- ({<.<.x, y>., z>. | ph} |` (A X. B)) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)}

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem resoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab 3401	. . 3 |- ({<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} |` (A X. B)) = {<.w, z>. | (w e. (A X. B) /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph))}
2		19.42vv 1312	. . . . 5 |- (E.xE.y(w e. (A X. B) /\ (w = <.x, y>. /\ ph)) <-> (w e. (A X. B) /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)))
3		an12 486	. . . . . . 7 |- ((w e. (A X. B) /\ (w = <.x, y>. /\ ph)) <-> (w = <.x, y>. /\ (w e. (A X. B) /\ ph)))
4		eleq1 1537	. . . . . . . . . 10 |- (w = <.x, y>. -> (w e. (A X. B) <-> <.x, y>. e. (A X. B)))
5		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
6	5	opelxp 3220	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
7	4, 6	syl6bb 538	. . . . . . . . 9 |- (w = <.x, y>. -> (w e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B)))
8	7	anbi1d 619	. . . . . . . 8 |- (w = <.x, y>. -> ((w e. (A X. B) /\ ph) <-> ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)))
9	8	pm5.32i 647	. . . . . . 7 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. (A X. B) /\ ph)) <-> (w = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)))
10	3, 9	bitr 173	. . . . . 6 |- ((w e. (A X. B) /\ (w = <.x, y>. /\ ph)) <-> (w = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)))
11	10	2exbii 1054	. . . . 5 |- (E.xE.y(w e. (A X. B) /\ (w = <.x, y>. /\ ph)) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)))
12	2, 11	bitr3 175	. . . 4 |- ((w e. (A X. B) /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)))
13	12	opabbii 2676	. . 3 |- {<.w, z>. | (w e. (A X. B) /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph))} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ ph))}
14	1, 13	eqtr 1498	. 2 |- ({<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} |` (A X. B)) = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ ph))}
15		dfoprab2 3997	. . 3 |- {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
16		reseq1 3374	. . 3 |- ({<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} -> ({<.<.x, y>., z>. | ph} |` (A X. B)) = ({<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} |` (A X. B)))
17	15, 16	ax-mp 7	. 2 |- ({<.<.x, y>., z>. | ph} |` (A X. B)) = ({<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} |` (A X. B))
18		dfoprab2 3997	. 2 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ ph))}
19	14, 17, 18	3eqtr4 1508	1 |- ({<.<.x, y>., z>. | ph} |` (A X. B)) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415  {copab 2671   X. cxp 3174   |` cres 3178  {copab2 3970

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-res 3196  df-oprab 3972

Copyright terms: Public domain