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Theorem resqrcl 12059
Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem resqrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrex 12056 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. y  e.  RR  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )
2 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  A  e.  RR )
3 recn 9080 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 sqrval 12042 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
52, 3, 43syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  =  (
iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
6 simp3r 986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  A )
7 simp3l 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  y )
8 rere 11927 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
Re `  y )  =  y )
983ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( Re `  y )  =  y )
107, 9breqtrrd 4238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  ( Re `  y ) )
11 rennim 12044 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )
12113ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
136, 10, 123jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
14 recn 9080 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
15143ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  y  e.  CC )
16 resqreu 12058 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
17163ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_ 
( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)
18 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
1918eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( y ^ 2 )  =  A ) )
20 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  y ) )
2120breq2d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  y ) ) )
22 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
23 neleq1 2699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
2519, 21, 243anbi123d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )
2625riota2 6572 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  ->  ( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  (
iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  =  y ) )
2715, 17, 26syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)  =  y ) )
2813, 27mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)  =  y )
295, 28eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  =  y )
30 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  y  e.  RR )
3129, 30eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  RR )
3231rexlimdv3a 2832 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( E. y  e.  RR  ( 0  <_ 
y  /\  ( y ^ 2 )  =  A )  ->  ( sqr `  A )  e.  RR ) )
331, 32mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    e/ wnel 2600   E.wrex 2706   E!wreu 2707   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   _ici 8992    x. cmul 8995    <_ cle 9121   2c2 10049   RR+crp 10612   ^cexp 11382   Recre 11902   sqrcsqr 12038
This theorem is referenced by:  resqrthlem  12060  remsqsqr  12062  sqrge0  12063  sqrgt0  12064  sqrmul  12065  sqrle  12066  sqrlt  12067  sqr11  12068  rpsqrcl  12070  sqrdiv  12071  sqrneglem  12072  sqrneg  12073  sqrsq2  12074  abscl  12083  sqreulem  12163  sqreu  12164  amgm2  12173  sqrcli  12175  resqrcld  12220  resqrcn  20633  loglesqr  20642  1cubrlem  20681  ftc1anclem3  26282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040
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