MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrcn Unicode version

Theorem resqrcn 20089
Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
resqrcn  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  e.  ( ( 0 [,)  +oo ) -cn-> RR )

Proof of Theorem resqrcn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrf 11847 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
21a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  sqr : CC --> CC )
32feqmptd 5575 . . . . 5  |-  (  T. 
->  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) ) )
43reseq1d 4954 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( sqr  |`  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,)  +oo ) ) )
5 elrege0 10746 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
65simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
76recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
87ssriv 3184 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
9 resmpt 5000 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
108, 9mp1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x
) )  |`  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
114, 10eqtrd 2315 . . 3  |-  (  T. 
->  ( sqr  |`  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
1211trud 1314 . 2  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )
13 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) )
14 resqrcl 11739 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  x
)  e.  RR )
155, 14sylbi 187 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
1613, 15fmpti 5683 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) ) : ( 0 [,)  +oo )
--> RR
17 ax-resscn 8794 . . . 4  |-  RR  C_  CC
18 cxpsqr 20050 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
197, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
2019mpteq2ia 4102 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2322a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
24 resttopon 16892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,)  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2523, 8, 24sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2625cnmptid 17355 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
27 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
28 ref 11597 . . . . . . . . . . . 12  |-  Re : CC
--> RR
2928fdmi 5394 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  Re  =  CC
3027, 29sseqtri 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
31 resttopon 16892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( `' Re " RR+ )  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )  e.  (TopOn `  ( `' Re " RR+ ) ) )
3223, 30, 31sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )  e.  (TopOn `  ( `' Re " RR+ ) ) )
33 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
34 halfcl 9937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
36 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
37 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
39 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
40 rere 11607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( 1  /  2 ) )  =  ( 1  / 
2 ) )
4138, 39, 40mp2b 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re
`  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
4241, 38eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR+
43 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
44 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
( 1  /  2
)  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ ) ) )
4528, 43, 44mp2b 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  CC  /\  (
Re `  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ ) )
4635, 42, 45mpbir2an 886 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( `' Re " RR+ )
4746a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  ( `' Re " RR+ )
)
4825, 32, 47cnmptc 17356 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) ) )
49 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' Re " RR+ )  =  ( `' Re "
RR+ )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )
51 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( `' Re " RR+ ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )
5249, 21, 50, 51cxpcn3 20088 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  z  e.  ( `' Re "
RR+ )  |->  ( y  ^ c  z ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  tX  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
5352a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  z  e.  ( `' Re " RR+ )  |->  ( y  ^ c 
z ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,)  +oo ) )  tX  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
54 oveq12 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  ( 1  /  2 ) )  ->  ( y  ^ c  z )  =  ( x  ^ c 
( 1  /  2
) ) )
5525, 26, 48, 25, 32, 53, 54cnmpt12 17361 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( x  ^ c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 [,)  +oo ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
56 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
5722toponunii 16670 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5857restid 13338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
5922, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
6059eqcomi 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
6121, 50, 60cncfcn 18413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 [,)  +oo )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( 0 [,)  +oo ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
628, 56, 61mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,)  +oo ) -cn->
CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
6355, 62syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( x  ^ c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> CC ) )
6420, 63syl5eqelr 2368 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) )  e.  ( ( 0 [,)  +oo ) -cn-> CC ) )
6564trud 1314 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> CC )
66 cncffvrn 18402 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) : ( 0 [,)  +oo ) --> RR ) )
6717, 65, 66mp2an 653 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) : ( 0 [,)  +oo ) --> RR )
6816, 67mpbir 200 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> RR )
6912, 68eqeltri 2353 1  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  e.  ( ( 0 [,)  +oo ) -cn-> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    +oocpnf 8864    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   [,)cico 10658   Recre 11582   sqrcsqr 11718   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   -cn->ccncf 18380    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  loglesqr  20098  areacirclem4  24339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator