MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas2 Unicode version

Theorem ressbas2 13215
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbas2  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )

Proof of Theorem ressbas2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3179 . . 3  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
21biimpi 186 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  A )
3 ressbas.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
4 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
53, 4eqeltri 2366 . . . 4  |-  B  e. 
_V
65ssex 4174 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
7 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
87, 3ressbas 13214 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
96, 8syl 15 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
102, 9eqtr3d 2330 1  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165
This theorem is referenced by:  rescbas  13722  fullresc  13741  resssetc  13940  yoniso  14075  issubmnd  14417  submnd0  14418  submbas  14448  resmhm  14452  gsumress  14470  subgbas  14641  issubg2  14652  resghm  14715  submod  14896  rngidss  15383  unitgrpbas  15464  isdrng2  15538  drngmcl  15541  drngid2  15544  isdrngd  15553  islss3  15732  lsslss  15734  lsslsp  15788  reslmhm  15825  issubassa  16080  resspsrbas  16175  mplbas  16190  ressmplbas  16216  ply1bas  16290  ressply1bas  16323  xrs1mnd  16425  xrs10  16426  xrs1cmn  16427  xrge0subm  16428  xrge0cmn  16429  cnmsubglem  16450  dvdsrz  16456  zlpirlem1  16457  zlpirlem3  16459  expghm  16466  chrrhm  16501  domnchr  16502  imasdsf1olem  17953  xrge0gsumle  18354  xrge0tsms  18355  cmsss  18788  minveclem3a  18807  evlssca  19422  mpfconst  19438  mpfind  19444  dchrzrhmul  20501  lgsdchr  20603  qrngbas  20784  ressplusf  23313  ressmulgnn  23323  ressmulgnn0  23324  xrge0iifmhm  23336  xrge0tsmsd  23397  esumcl  23428  esumpfinvallem  23457  prdsbnd2  26622  cnpwstotbnd  26624  repwsmet  26661  rrnequiv  26662  mzpmfp  26928  islssfg  27271  lnmlsslnm  27282  pwssplit4  27294  dsmmbase  27304  dsmmval2  27305  lsslindf  27403  lsslinds  27404  islinds3  27407  cnmsgnbas  27538  psgnghm  27540  cntzsdrg  27613  deg1mhm  27629  lcdvbase  32405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171
  Copyright terms: Public domain W3C validator