Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressplusf Unicode version

Theorem ressplusf 24023
Description: The group operation function  + f of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusf.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
ressplusf.2  |-  H  =  ( Gs  A )
ressplusf.3  |-  .+^  =  ( +g  `  G )
ressplusf.4  |-  .+^  Fn  ( B  X.  B )
ressplusf.5  |-  A  C_  B
Assertion
Ref Expression
ressplusf  |-  ( + f `  H )  =  (  .+^  |`  ( A  X.  A ) )

Proof of Theorem ressplusf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressplusf.5 . . 3  |-  A  C_  B
2 resmpt2 6108 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  B )  -> 
( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+^  y ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( x  e.  A , 
y  e.  A  |->  ( x  .+^  y )
) )
31, 1, 2mp2an 654 . 2  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  .+^  y )
)  |`  ( A  X.  A ) )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  ( x  .+^  y ) )
4 ressplusf.4 . . . 4  |-  .+^  Fn  ( B  X.  B )
5 fnov 6118 . . . 4  |-  (  .+^  Fn  ( B  X.  B
)  <->  .+^  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
.+^  y ) ) )
64, 5mpbi 200 . . 3  |-  .+^  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  .+^  y )
)
76reseq1i 5083 . 2  |-  (  .+^  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+^  y ) )  |`  ( A  X.  A ) )
8 ressplusf.2 . . . . 5  |-  H  =  ( Gs  A )
9 ressplusf.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
108, 9ressbas2 13448 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  H
) )
111, 10ax-mp 8 . . 3  |-  A  =  ( Base `  H
)
12 ressplusf.3 . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  G )
13 fvex 5683 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
149, 13eqeltri 2458 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1514, 1ssexi 4290 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
16 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
178, 16ressplusg 13499 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
1815, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H )
1912, 18eqtri 2408 . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  H )
20 eqid 2388 . . 3  |-  ( + f `  H )  =  ( + f `  H )
2111, 19, 20plusffval 14630 . 2  |-  ( + f `  H )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  ( x  .+^  y ) )
223, 7, 213eqtr4ri 2419 1  |-  ( + f `  H )  =  (  .+^  |`  ( A  X.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264    X. cxp 4817    |` cres 4821    Fn wfn 5390   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   Basecbs 13397   ↾s cress 13398   +g cplusg 13457   + fcplusf 14615
This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  24131  xrge0tmdOLD  24136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-plusf 14619
  Copyright terms: Public domain W3C validator