MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restrcl Unicode version

Theorem restrcl 16851
Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
restrcl  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)

Proof of Theorem restrcl
StepHypRef Expression
1 0opn 16613 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  A
) )
2 n0i 3435 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( Jt  A )  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
4 restfn 13292 . . . 4  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
5 fndm 5281 . . . 4  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
64, 5ax-mp 10 . . 3  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
76ndmov 5938 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
83, 7nsyl2 121 1  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763   (/)c0 3430    X. cxp 4659   dom cdm 4661    Fn wfn 4668  (class class class)co 5792   ↾t crest 13288   Topctop 16594
This theorem is referenced by:  cnrest2r  16978  imacmp  17087  fiuncmp  17094  concompss  17122  kgeni  17195  kgencmp  17203  kgencmp2  17204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-rest 13290  df-top 16599
  Copyright terms: Public domain W3C validator