MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restrcl Unicode version

Theorem restrcl 16884
Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
restrcl  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)

Proof of Theorem restrcl
StepHypRef Expression
1 0opn 16646 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  A
) )
2 n0i 3461 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( Jt  A )  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  -.  ( Jt  A )  =  (/) )
4 restfn 13325 . . . 4  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
5 fndm 5309 . . . 4  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
76ndmov 5966 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
83, 7nsyl2 119 1  |-  ( ( Jt  A )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   _Vcvv 2789   (/)c0 3456    X. cxp 4686    dom cdm 4688    Fn wfn 5216  (class class class)co 5820   ↾t crest 13321   Topctop 16627
This theorem is referenced by:  cnrest2r  17011  imacmp  17120  fiuncmp  17127  concompss  17155  kgeni  17228  kgencmp  17236  kgencmp2  17237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-rest 13323  df-top 16632
  Copyright terms: Public domain W3C validator