MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttop Structured version   Unicode version

Theorem resttop 17216
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89.  A is normally a subset of the base set of  J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 17215 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( ( topGen `  J )t  A
) )
2 tgtop 17030 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  J )  =  J )
43oveq1d 6088 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( topGen `  J
)t 
A )  =  ( Jt  A ) )
51, 4eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( Jt  A ) )
6 topbas 17029 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e. 
TopBases )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  TopBases )
8 restbas 17214 . . 3  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( Jt  A )  e.  TopBases )
9 tgcl 17026 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
107, 8, 93syl 19 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
115, 10eqeltrrd 2510 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   topGenctg 13657   Topctop 16950   TopBasesctb 16954
This theorem is referenced by:  resttopon  17217  resttopon2  17224  rest0  17225  restcld  17228  neitr  17236  restcls  17237  restntr  17238  ordtrest  17258  cmpsub  17455  fiuncmp  17459  1stcrest  17508  subislly  17536  llyrest  17540  nllyrest  17541  toplly  17545  cldllycmp  17550  kgencmp2  17570  llycmpkgen2  17574  1stckgen  17578  txkgen  17676  cnextfres  18091  zdis  18839  cnmpt2pc  18945  dvbss  19780  dvreslem  19788  dvres2lem  19789  dvcnp2  19798  dvmptres  19841  ulmdvlem3  20310  psercn  20334  abelth  20349  cvxpcon  24921  cvmscld  24952  cnambfre  26245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator