MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttop Unicode version

Theorem resttop 16818
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89.  A is normally a subset of the base set of  J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 16817 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( ( topGen `  J )t  A
) )
2 tgtop 16638 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
32adantr 453 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  J )  =  J )
43oveq1d 5772 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( topGen `  J
)t 
A )  =  ( Jt  A ) )
51, 4eqtrd 2288 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  =  ( Jt  A ) )
6 topbas 16637 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e. 
TopBases )
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  TopBases )
8 restbas 16816 . . 3  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( Jt  A )  e.  TopBases )
9 tgcl 16634 . . 3  |-  ( ( Jt  A )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
107, 8, 93syl 20 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( Jt  A
) )  e.  Top )
115, 10eqeltrrd 2331 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   ↾t crest 13252   topGenctg 13269   Topctop 16558   TopBasesctb 16562
This theorem is referenced by:  resttopon  16819  resttopon2  16826  rest0  16827  restcld  16830  restcls  16838  restntr  16839  ordtrest  16859  cmpsub  17054  fiuncmp  17058  1stcrest  17106  subislly  17134  llyrest  17138  nllyrest  17139  toplly  17143  cldllycmp  17148  kgencmp2  17168  llycmpkgen2  17172  1stckgen  17176  txkgen  17273  zdis  18249  cnmpt2pc  18353  dvbss  19178  dvreslem  19186  dvres2lem  19187  dvcnp2  19196  dvmptres  19239  ulmdvlem3  19706  psercn  19729  abelth  19744  cvxpcon  23110  cvmscld  23141  stfincomp  24923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-oadd 6416  df-er 6593  df-en 6797  df-fin 6800  df-fi 7098  df-rest 13254  df-topgen 13271  df-top 16563  df-bases 16565
  Copyright terms: Public domain W3C validator