MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttopon Structured version   Unicode version

Theorem resttopon 17263
Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )

Proof of Theorem resttopon
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 17029 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3 id 21 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  A  C_  X )
4 toponmax 17031 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
5 ssexg 4384 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  A  e.  _V )
63, 4, 5syl2anr 466 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
7 resttop 17262 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
82, 6, 7syl2anc 644 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
9 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
10 dfss1 3534 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
119, 10sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
12 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
134adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  e.  J )
14 elrestr 13694 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V  /\  X  e.  J )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1512, 6, 13, 14syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1611, 15eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ( Jt  A ) )
17 elssuni 4072 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Jt  A )  ->  A  C_  U. ( Jt  A ) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_ 
U. ( Jt  A ) )
19 restval 13692 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
206, 19syldan 458 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
21 inss2 3550 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
22 vex 2968 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
2322inex1 4379 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2423elpw 3834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  A )  C_  A
)
2521, 24mpbir 202 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  e. 
~P A
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ~P A )
27 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )
2826, 27fmptd 5929 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A
)
29 frn 5632 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )  C_  ~P A )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) )  C_  ~P A )
3120, 30eqsstrd 3371 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  C_  ~P A )
32 sspwuni 4207 . . . 4  |-  ( ( Jt  A )  C_  ~P A 
<-> 
U. ( Jt  A ) 
C_  A )
3331, 32sylib 190 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  U. ( Jt  A )  C_  A
)
3418, 33eqssd 3354 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
35 istopon 17028 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  A  =  U. ( Jt  A ) ) )
368, 34, 35sylanbrc 647 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728   _Vcvv 2965    i^i cin 3308    C_ wss 3309   ~Pcpw 3828   U.cuni 4044    e. cmpt 4297   ran crn 4914   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   ↾t crest 13686   Topctop 16996  TopOnctopon 16997
This theorem is referenced by:  restuni  17264  stoig  17265  restsn2  17273  restlp  17285  restperf  17286  perfopn  17287  cnrest  17387  cnrest2  17388  cnrest2r  17389  cnpresti  17390  cnprest  17391  cnprest2  17392  restcnrm  17464  consuba  17521  kgentopon  17608  1stckgenlem  17623  kgen2ss  17625  kgencn  17626  xkoinjcn  17757  qtoprest  17787  flimrest  18053  fclsrest  18094  symgtgp  18169  dvrcn  18251  sszcld  18886  divcn  18936  cncfmptc  18979  cncfmptid  18980  cncfmpt2f  18982  cdivcncf  18985  cnmpt2pc  18991  icchmeo  19004  htpycc  19043  pcocn  19080  pcohtpylem  19082  pcopt  19085  pcopt2  19086  pcoass  19087  pcorevlem  19089  relcmpcmet  19307  limcvallem  19796  ellimc2  19802  limcres  19811  cnplimc  19812  cnlimc  19813  limccnp  19816  limccnp2  19817  dvbss  19826  perfdvf  19828  dvreslem  19834  dvres2lem  19835  dvcnp2  19844  dvcn  19845  dvaddbr  19862  dvmulbr  19863  dvcmulf  19869  dvmptres2  19886  dvmptcmul  19888  dvmptntr  19895  dvmptfsum  19897  dvcnvlem  19898  dvcnv  19899  lhop1lem  19935  lhop2  19937  lhop  19938  dvcnvrelem2  19940  dvcnvre  19941  ftc1lem3  19960  ftc1cn  19965  taylthlem1  20327  ulmdvlem3  20356  psercn  20380  abelth  20395  logcn  20576  cxpcn  20667  cxpcn2  20668  cxpcn3  20670  resqrcn  20671  sqrcn  20672  loglesqr  20680  xrlimcnp  20845  efrlim  20846  ftalem3  20895  xrge0pluscn  24361  xrge0mulc1cn  24362  lmlimxrge0  24369  pnfneige0  24371  lmxrge0  24372  esumcvg  24511  cvxpcon  24964  cvxscon  24965  cvmsf1o  24994  cvmliftlem8  25014  cvmlift2lem9a  25025  cvmlift2lem11  25035  cvmlift3lem6  25046  cnambfre  26295  ftc1cnnc  26321  areacirclem2  26335  areacirclem4  26337  ivthALT  26380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-oadd 6764  df-er 6941  df-en 7146  df-fin 7149  df-fi 7452  df-rest 13688  df-topgen 13705  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004
  Copyright terms: Public domain W3C validator