MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttopon Unicode version

Theorem resttopon 17148
Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )

Proof of Theorem resttopon
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16915 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3 id 20 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  A  C_  X )
4 toponmax 16917 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
5 ssexg 4291 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  A  e.  _V )
63, 4, 5syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
7 resttop 17147 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
82, 6, 7syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
9 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
10 dfss1 3489 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
119, 10sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
12 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
134adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  e.  J )
14 elrestr 13584 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V  /\  X  e.  J )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1512, 6, 13, 14syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1611, 15eqeltrrd 2463 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ( Jt  A ) )
17 elssuni 3986 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Jt  A )  ->  A  C_  U. ( Jt  A ) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_ 
U. ( Jt  A ) )
19 restval 13582 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
206, 19syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) ) )
21 inss2 3506 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
22 vex 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
2322inex1 4286 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2423elpw 3749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  A )  C_  A
)
2521, 24mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  e. 
~P A
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ~P A )
27 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )
2826, 27fmptd 5833 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A
)
29 frn 5538 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A ) ) : J --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
A ) )  C_  ~P A )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  A
) )  C_  ~P A )
3120, 30eqsstrd 3326 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  C_  ~P A )
32 sspwuni 4118 . . . 4  |-  ( ( Jt  A )  C_  ~P A 
<-> 
U. ( Jt  A ) 
C_  A )
3331, 32sylib 189 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  U. ( Jt  A )  C_  A
)
3418, 33eqssd 3309 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
35 istopon 16914 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  A  =  U. ( Jt  A ) ) )
368, 34, 35sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   U.cuni 3958    e. cmpt 4208   ran crn 4820   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   ↾t crest 13576   Topctop 16882  TopOnctopon 16883
This theorem is referenced by:  restuni  17149  stoig  17150  restsn2  17158  restlp  17170  restperf  17171  perfopn  17172  cnrest  17272  cnrest2  17273  cnrest2r  17274  cnpresti  17275  cnprest  17276  cnprest2  17277  restcnrm  17349  consuba  17405  kgentopon  17492  1stckgenlem  17507  kgen2ss  17509  kgencn  17510  xkoinjcn  17641  qtoprest  17671  flimrest  17937  fclsrest  17978  symgtgp  18053  dvrcn  18135  sszcld  18720  divcn  18770  cncfmptc  18813  cncfmptid  18814  cncfmpt2f  18816  cdivcncf  18819  cnmpt2pc  18825  icchmeo  18838  htpycc  18877  pcocn  18914  pcohtpylem  18916  pcopt  18919  pcopt2  18920  pcoass  18921  pcorevlem  18923  relcmpcmet  19141  limcvallem  19626  ellimc2  19632  limcres  19641  cnplimc  19642  cnlimc  19643  limccnp  19646  limccnp2  19647  dvbss  19656  perfdvf  19658  dvreslem  19664  dvres2lem  19665  dvcnp2  19674  dvcn  19675  dvaddbr  19692  dvmulbr  19693  dvcmulf  19699  dvmptres2  19716  dvmptcmul  19718  dvmptntr  19725  dvmptfsum  19727  dvcnvlem  19728  dvcnv  19729  lhop1lem  19765  lhop2  19767  lhop  19768  dvcnvrelem2  19770  dvcnvre  19771  ftc1lem3  19790  ftc1cn  19795  taylthlem1  20157  ulmdvlem3  20186  psercn  20210  abelth  20225  logcn  20406  cxpcn  20497  cxpcn2  20498  cxpcn3  20500  resqrcn  20501  sqrcn  20502  loglesqr  20510  xrlimcnp  20675  efrlim  20676  ftalem3  20725  xrge0pluscn  24131  xrge0mulc1cn  24132  lmlimxrge0  24139  pnfneige0  24141  lmxrge0  24142  esumcvg  24273  cvxpcon  24709  cvxscon  24710  cvmsf1o  24739  cvmliftlem8  24759  cvmlift2lem9a  24770  cvmlift2lem11  24780  cvmlift3lem6  24791  ftc1cnnc  25980  areacirclem4  25985  areacirclem5  25987  ivthALT  26030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050  df-fi 7352  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890
  Copyright terms: Public domain W3C validator