Theorem resubclt 5418

Description: Closure law for subtraction of reals.

Assertion

Ref	Expression
resubclt	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A - B) e. RR)

Proof of Theorem resubclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubt 5362	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))
2		recnt 5293	. . 3 |- (A e. RR -> A e. CC)
3		recnt 5293	. . 3 |- (B e. RR -> B e. CC)
4	1, 2, 3	syl2an 454	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + -uB) = (A - B))
5		axaddrcl 5252	. . 3 |- ((A e. RR /\ -uB e. RR) -> (A + -uB) e. RR)
6		renegclt 5417	. . 3 |- (B e. RR -> -uB e. RR)
7	5, 6	sylan2 451	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + -uB) e. RR)
8	4, 7	eqeltrrd 1546	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A - B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213   + caddc 5217   - cmin 5272  -ucneg 5273

This theorem is referenced by:  resubcl 5419  peano2rem 5422  ltaddsubt 5613  leaddsubt 5615  posdift 5635  suble0t 5656  uzindOLD 6164  qbtwnre 6224  expubndt 6547  reim0t 6719  absdifltt 6829  absdiflet 6830  abssubge0t 6841  abs2difabst 6848  caure 6872  cauim 6873  ser1absdiflem 6874  climge0 7057  climcmplem 7081  climsqueeze 7084  climsqueeze2 7085  climubi 7097  climsup 7099  caucvglem5 7105  caucvglem6 7106  caucvg 7107  cvgcmp3c 7130  ivthlem6 7229  ivthlem7 7230  ivthlem6OLD 7238  ivthlem7OLD 7239  efaddlem1 7288  resin4pt 7386  recos4pt 7387  sin01bndlem3 7419  cos01bndlem3 7421  sin01gt0 7426  cos01gt0 7427  blss 7805  bl2ioo 7863  ioo2bl 7864  blssioo 7865  tgioolem 7866  lmle 7911  nvabs 8253  nmcnilem 8285  ipcj 8314  minveclem24 8512  minveclem25 8513  minveclem26 8514  minveclem27 8515  sincosq1sgn 8640  sincosq2sgn 8641  sincosq3sgn 8642  sincosq4sgn 8643  sinq12gt0t 8644  efif1lem1 8664  efif1lem2 8665  shftefif1olem 8680  relogdivt 8710  projlem25 9149  projlem26 9150  dmse1 10503  msr3 10505  msr4 10506  mslb1 10509  2wsms 10510  iintlem1 10512  iint 10514  trran 10516  cnvtr 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338

Copyright terms: Public domain