Theorem reuunineg 6023

Description: The negative of the unique real such that ph.

Hypothesis

Ref	Expression
reuunineg.1	|- (x = -uy -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
reuunineg	|- (E!x e. RR ph -> U.{x e. RR | ph} = -uU.{y e. RR | ps})

Distinct variable groups:   x,y   ph,y   ps,x

Proof of Theorem reuunineg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbrab1 1770	. . . 4 |- (z e. {y e. RR | ps} -> A.y z e. {y e. RR | ps})
2	1	hbuni 2505	. . 3 |- (z e. U.{y e. RR | ps} -> A.y z e. U.{y e. RR | ps})
3	2	hbneg 5345	. 2 |- (z e. -uU.{y e. RR | ps} -> A.y z e. -uU.{y e. RR | ps})
4		renegclt 5420	. 2 |- (y e. RR -> -uy e. RR)
5		renegclt 5420	. 2 |- (U.{y e. RR | ps} e. RR -> -uU.{y e. RR | ps} e. RR)
6		reuunineg.1	. 2 |- (x = -uy -> (ph <-> ps))
7		negeq 5342	. 2 |- (y = U.{y e. RR | ps} -> -uy = -uU.{y e. RR | ps})
8		renegclt 5420	. . 3 |- (x e. RR -> -ux e. RR)
9		negcon2t 5394	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x = -uy <-> y = -ux))
10		recnt 5296	. . . 4 |- (x e. RR -> x e. CC)
11		recnt 5296	. . . 4 |- (y e. RR -> y e. CC)
12	9, 10, 11	syl2an 454	. . 3 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x = -uy <-> y = -ux))
13	8, 12	reuhyp 2901	. 2 |- (x e. RR -> E!y e. RR x = -uy)
14	3, 4, 5, 6, 7, 13	reuunixfr 2902	1 |- (E!x e. RR ph -> U.{x e. RR | ph} = -uU.{y e. RR | ps})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957  E!wreu 1645  {crab 1646  U.cuni 2499  CCcc 5215  RRcr 5216  -ucneg 5276

This theorem is referenced by:  infmsup 6025

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341

Copyright terms: Public domain