MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexiunxp Structured version   Unicode version

Theorem rexiunxp 5018
Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 5020, 
B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
rexiunxp  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    B( y)

Proof of Theorem rexiunxp
StepHypRef Expression
1 ralxp.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
21notbid 287 . . . . 5  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( -.  ph  <->  -. 
ps ) )
32raliunxp 5017 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  -.  ps )
4 ralnex 2717 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  -.  ps 
<->  -.  E. z  e.  B  ps )
54ralbii 2731 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  -.  ps 
<-> 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
63, 5bitri 242 . . 3  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
76notbii 289 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph  <->  -. 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
8 dfrex2 2720 . 2  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  -.  A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )  -.  ph )
9 dfrex2 2720 . 2  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps  <->  -. 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
107, 8, 93bitr4i 270 1  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653   A.wral 2707   E.wrex 2708   {csn 3816   <.cop 3819   U_ciun 4095    X. cxp 4879
This theorem is referenced by:  rexxp  5020  fsumvma  21002  cvmliftlem15  24990  filnetlem4  26424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-iun 4097  df-opab 4270  df-xp 4887  df-rel 4888
  Copyright terms: Public domain W3C validator