MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexneg Unicode version

Theorem rexneg 10505
Description: Minus a real number. Remark [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexneg  |-  ( A  e.  RR  ->  - e A  =  -u A )

Proof of Theorem rexneg
StepHypRef Expression
1 df-xneg 10420 . 2  |-  - e A  =  if ( A  =  +oo ,  -oo ,  if ( A  = 
-oo ,  +oo ,  -u A ) )
2 renepnf 8847 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  +oo )
3 ifnefalse 3547 . . . 4  |-  ( A  =/=  +oo  ->  if ( A  =  +oo ,  -oo ,  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )  =  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  +oo , 
-oo ,  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )  =  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )
5 renemnf 8848 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )
6 ifnefalse 3547 . . . 4  |-  ( A  =/=  -oo  ->  if ( A  =  -oo ,  +oo ,  -u A )  = 
-u A )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  -oo , 
+oo ,  -u A )  =  -u A )
84, 7eqtrd 2290 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  +oo , 
-oo ,  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )  =  -u A )
91, 8syl5eq 2302 1  |-  ( A  e.  RR  ->  - e A  =  -u A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   ifcif 3539   RRcr 8704    +oocpnf 8832    -oocmnf 8833   -ucneg 9006    - ecxne 10417
This theorem is referenced by:  xneg0  10506  xnegcl  10507  xnegneg  10508  xltnegi  10510  rexsub  10527  xnegid  10530  xnegdi  10535  xpncan  10538  xnpcan  10539  xmulneg1  10556  xmulm1  10568  xadddi  10582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xneg 10420
  Copyright terms: Public domain W3C validator