MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexneg Unicode version

Theorem rexneg 10469
Description: Minus a real number. Remark [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexneg  |-  ( A  e.  RR  ->  - e A  =  -u A )

Proof of Theorem rexneg
StepHypRef Expression
1 df-xneg 10384 . 2  |-  - e A  =  if ( A  =  +oo ,  -oo ,  if ( A  = 
-oo ,  +oo ,  -u A ) )
2 renepnf 8812 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  +oo )
3 ifnefalse 3514 . . . 4  |-  ( A  =/=  +oo  ->  if ( A  =  +oo ,  -oo ,  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )  =  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  +oo , 
-oo ,  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )  =  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )
5 renemnf 8813 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )
6 ifnefalse 3514 . . . 4  |-  ( A  =/=  -oo  ->  if ( A  =  -oo ,  +oo ,  -u A )  = 
-u A )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  -oo , 
+oo ,  -u A )  =  -u A )
84, 7eqtrd 2288 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  =  +oo , 
-oo ,  if ( A  =  -oo ,  +oo , 
-u A ) )  =  -u A )
91, 8syl5eq 2300 1  |-  ( A  e.  RR  ->  - e A  =  -u A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   ifcif 3506   RRcr 8669    +oocpnf 8797    -oocmnf 8798   -ucneg 8971    - ecxne 10381
This theorem is referenced by:  xneg0  10470  xnegcl  10471  xnegneg  10472  xltnegi  10474  rexsub  10491  xnegid  10494  xnegdi  10499  xpncan  10502  xnpcan  10503  xmulneg1  10520  xmulm1  10532  xadddi  10546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xneg 10384
  Copyright terms: Public domain W3C validator