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Theorem rexrabdioph 26791
Description: Diophantine set builder for existential quantification. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rexrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexrabdioph.2  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
rexrabdioph.3  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
Assertion
Ref Expression
rexrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, N, u, v    t, M, u, v    ph, u, v    ps, t    ch, v
Allowed substitution hints:    ph( t)    ps( v, u)    ch( u, t)

Proof of Theorem rexrabdioph
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2706 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }
2 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  ( [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
32cbvrexv 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
43anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
5 r19.42v 2854 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. c  e. 
NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
64, 5bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
7 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
9 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
10 rexrabdioph.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  ( N  +  1 )
1110mapfzcons 26709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )
127, 8, 9, 11syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1312adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1410mapfzcons2 26712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  =  c )
158, 9, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  =  c )
1615eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
) )
17 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
1910mapfzcons1 26710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) )  =  a )
208, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  a )
2120eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
22 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2423sbcbidv 3207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. a  /  u ]. ps 
<-> 
[. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2518, 24bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `
 M )  / 
v ]. [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2625biimpd 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  ->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2726impr 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
2821adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
29 fveq1 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b `  M )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M ) )
30 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  M )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
32 reseq1 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
33 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3534sbcbidv 3207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3631, 35bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3732eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  a  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3836, 37anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
( [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) ) )
3938rspcev 3044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
4013, 27, 28, 39syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
4140ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
4241rexlimdva 2822 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
43 elmapi 7029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  b : ( 1 ... M ) --> NN0 )
44 nn0p1nn 10248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
4510, 44syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
46 elfz1end 11070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4745, 46sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
48 ffvelrn 5859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : ( 1 ... M ) --> NN0 
/\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
4943, 47, 48syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( b `  M
)  e.  NN0 )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
51 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
5210mapfzcons1cl 26711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) )
5352ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
5451, 53eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
55 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
56 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5756sbcbidv 3207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. a  /  u ]. ps 
<-> 
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5857ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5955, 58mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
60 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6160anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  (
( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6261rspcev 3044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  M
)  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6350, 54, 59, 62syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6463ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6564rexlimdva 2822 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6642, 65impbid 184 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
676, 66syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
6867abbidv 2549 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. b  e. 
NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
691, 68syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
70 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ u
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
71 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
72 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ a E. v  e.  NN0  ps
73 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ u NN0
74 nfcv 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ u
b
75 nfsbc1v 3172 . . . . . . . 8  |-  F/ u [. a  /  u ]. ps
7674, 75nfsbc 3174 . . . . . . 7  |-  F/ u [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
7773, 76nfrex 2753 . . . . . 6  |-  F/ u E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
78 sbceq1a 3163 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  a  ->  ( ps 
<-> 
[. a  /  u ]. ps ) )
7978rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps )
)
80 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ b
[. a  /  u ]. ps
81 nfsbc1v 3172 . . . . . . . 8  |-  F/ v
[. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
82 sbceq1a 3163 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  b  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
8380, 81, 82cbvrex 2921 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
8479, 83syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
8570, 71, 72, 77, 84cbvrab 2946 . . . . 5  |-  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }
86 fveq1 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  b  ->  (
t `  M )  =  ( b `  M ) )
87 dfsbcq 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t `  M )  =  ( b `  M )  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
89 reseq1 5131 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  b  ->  (
t  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )
90 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9291sbcbidv 3207 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9388, 92bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9493rexrab 3090 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
9594abbii 2547 . . . . 5  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) }
9669, 85, 953eqtr4g 2492 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) } )
97 fvex 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( t `
 M )  e. 
_V
98 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
9998resex 5177 . . . . . . . . 9  |-  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
100 rexrabdioph.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
101 rexrabdioph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
102100, 101sylan9bb 681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( t `
 M )  /\  u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ps  <->  ph ) )
10397, 99, 102sbc2ie 3220 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph )
104103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph ) )
105104rabbiia 2938 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph }
106105rexeqi 2901 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
107106abbii 2547 . . . 4  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }
10896, 107syl6eq 2483 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
109108adantr 452 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
110 simpl 444 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
111 nn0z 10293 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
112 uzid 10489 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
113 peano2uz 10519 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
114111, 112, 1133syl 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
11510, 114syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
116115adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
117 simpr 448 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph }  e.  (Dioph `  M ) )
118 diophrex 26771 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
119110, 116, 117, 118syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
120109, 119eqeltrd 2509 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   E.wrex 2698   {crab 2701   [.wsbc 3153    u. cun 3310   {csn 3806   <.cop 3809    |` cres 4871   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^m cmap 7009   1c1 8980    + caddc 8982   NNcn 9989   NN0cn0 10210   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032  Diophcdioph 26750
This theorem is referenced by:  rexfrabdioph  26792  elnn0rabdioph  26800  dvdsrabdioph  26807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-hash 11607  df-mzpcl 26717  df-mzp 26718  df-dioph 26751
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