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Theorem rexrabdioph 26228
Description: Diophantine set builder for existential quantification. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rexrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexrabdioph.2  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
rexrabdioph.3  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
Assertion
Ref Expression
rexrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, N, u, v    t, M, u, v    ph, u, v    ps, t    ch, v
Allowed substitution hints:    ph( t)    ps( v, u)    ch( u, t)

Proof of Theorem rexrabdioph
StepHypRef Expression
1 df-rab 2525 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }
2 dfsbcq 2954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  ( [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
32cbvrexv 2735 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
43anbi2i 678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
5 r19.42v 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. c  e. 
NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
64, 5bitr4i 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
7 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
9 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
10 rexrabdioph.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  ( N  +  1 )
1110mapfzcons 26146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )
127, 8, 9, 11syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1312adantrr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1410mapfzcons2 26149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  =  c )
158, 9, 14syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  =  c )
1615eqcomd 2261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
) )
17 dfsbcq 2954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
1910mapfzcons1 26147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) )  =  a )
208, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  a )
2120eqcomd 2261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
22 dfsbcq 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2423sbcbidv 3006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. a  /  u ]. ps 
<-> 
[. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2518, 24bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `
 M )  / 
v ]. [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2625biimpd 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  ->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2726impr 605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
2821adantrr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
29 fveq1 5443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b `  M )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M ) )
30 dfsbcq 2954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  M )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
32 reseq1 4923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
33 dfsbcq 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3534sbcbidv 3006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3631, 35bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3732eqeq2d 2267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  a  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3836, 37anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
( [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) ) )
3938rcla4ev 2852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
4013, 27, 28, 39syl12anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
4140ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
4241rexlimdva 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
43 elmapi 6746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  b : ( 1 ... M ) --> NN0 )
44 nn0p1nn 9956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
4510, 44syl5eqel 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
46 elfz1end 10772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4745, 46sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
48 ffvelrn 5583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : ( 1 ... M ) --> NN0 
/\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
4943, 47, 48syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( b `  M
)  e.  NN0 )
5049adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
51 simprr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
5210mapfzcons1cl 26148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) )
5352ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
5451, 53eqeltrd 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
55 simprl 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
56 dfsbcq 2954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5756sbcbidv 3006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. a  /  u ]. ps 
<-> 
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5857ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5955, 58mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
60 dfsbcq 2954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6160anbi2d 687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  (
( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6261rcla4ev 2852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  M
)  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6350, 54, 59, 62syl12anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6463ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6564rexlimdva 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6642, 65impbid 185 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
676, 66syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
6867abbidv 2370 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. b  e. 
NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
691, 68syl5eq 2300 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
70 nfcv 2392 . . . . . 6  |-  F/_ u
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
71 nfcv 2392 . . . . . 6  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
72 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ a E. v  e.  NN0  ps
73 nfcv 2392 . . . . . . 7  |-  F/_ u NN0
74 nfcv 2392 . . . . . . . 8  |-  F/_ u
b
75 nfsbc1v 2971 . . . . . . . 8  |-  F/ u [. a  /  u ]. ps
7674, 75nfsbc 2973 . . . . . . 7  |-  F/ u [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
7773, 76nfrex 2571 . . . . . 6  |-  F/ u E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
78 sbceq1a 2962 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  a  ->  ( ps 
<-> 
[. a  /  u ]. ps ) )
7978rexbidv 2537 . . . . . . 7  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps )
)
80 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ b
[. a  /  u ]. ps
81 nfsbc1v 2971 . . . . . . . 8  |-  F/ v
[. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
82 sbceq1a 2962 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  b  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
8380, 81, 82cbvrex 2731 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
8479, 83syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
8570, 71, 72, 77, 84cbvrab 2755 . . . . 5  |-  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }
86 fveq1 5443 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  b  ->  (
t `  M )  =  ( b `  M ) )
87 dfsbcq 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t `  M )  =  ( b `  M )  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
89 reseq1 4923 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  b  ->  (
t  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )
90 dfsbcq 2954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9291sbcbidv 3006 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9388, 92bitrd 246 . . . . . . 7  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9493rexrab 2897 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
9594abbii 2368 . . . . 5  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) }
9669, 85, 953eqtr4g 2313 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) } )
97 fvex 5458 . . . . . . . . 9  |-  ( t `
 M )  e. 
_V
98 vex 2760 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
9998resex 4969 . . . . . . . . 9  |-  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
100 rexrabdioph.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
101 rexrabdioph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
102100, 101sylan9bb 683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( t `
 M )  /\  u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ps  <->  ph ) )
10397, 99, 102sbc2ie 3019 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph )
104103a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph ) )
105104rabbiia 2747 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph }
106105rexeqi 2712 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
107106abbii 2368 . . . 4  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }
10896, 107syl6eq 2304 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
109108adantr 453 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
110 simpl 445 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
111 nn0z 9999 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
112 uzid 10195 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
113 peano2uz 10225 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
114111, 112, 1133syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
11510, 114syl5eqel 2340 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
116115adantr 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
117 simpr 449 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph }  e.  (Dioph `  M ) )
118 diophrex 26208 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
119110, 116, 117, 118syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
120109, 119eqeltrd 2330 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242   E.wrex 2517   {crab 2520   [.wsbc 2952    u. cun 3111   {csn 3600   <.cop 3603    |` cres 4649   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    ^m cmap 6726   1c1 8692    + caddc 8694   NNcn 9700   NN0cn0 9918   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183   ...cfz 10734  Diophcdioph 26187
This theorem is referenced by:  rexfrabdioph  26229  elnn0rabdioph  26237  dvdsrabdioph  26244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-fz 10735  df-hash 11290  df-mzpcl 26154  df-mzp 26155  df-dioph 26188
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