Theorem rexxp 3214

Description: Existential quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification.

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- (x = <.y, z>. -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
rexxp	|- (E.x e. (A X. B)ph <-> E.y e. A E.z e. B ps)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   ph,y,z   ps,x

Proof of Theorem rexxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxp.1	. . . . . 6 |- (x = <.y, z>. -> (ph <-> ps))
2	1	negbid 610	. . . . 5 |- (x = <.y, z>. -> (-. ph <-> -. ps))
3	2	ralxp 3213	. . . 4 |- (A.x e. (A X. B) -. ph <-> A.y e. A A.z e. B -. ps)
4		ralnex 1650	. . . . 5 |- (A.z e. B -. ps <-> -. E.z e. B ps)
5	4	ralbii 1664	. . . 4 |- (A.y e. A A.z e. B -. ps <-> A.y e. A -. E.z e. B ps)
6	3, 5	bitr 173	. . 3 |- (A.x e. (A X. B) -. ph <-> A.y e. A -. E.z e. B ps)
7	6	negbii 187	. 2 |- (-. A.x e. (A X. B) -. ph <-> -. A.y e. A -. E.z e. B ps)
8		dfrex2 1653	. 2 |- (E.x e. (A X. B)ph <-> -. A.x e. (A X. B) -. ph)
9		dfrex2 1653	. 2 |- (E.y e. A E.z e. B ps <-> -. A.y e. A -. E.z e. B ps)
10	7, 8, 9	3bitr4 183	1 |- (E.x e. (A X. B)ph <-> E.y e. A E.z e. B ps)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 954  A.wral 1642  E.wrex 1643  <.cop 2407   X. cxp 3163

This theorem is referenced by:  fnrnoprval 4027  fooprval 4028  oprvalex 4032  elrnoprabg 4114

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662  df-xp 3179

Copyright terms: Public domain