MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexxpf Unicode version

Theorem rexxpf 5011
Description: Version of rexxp 5008 with bound-variable hypotheses. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ralxpf.1  |-  F/ y
ph
ralxpf.2  |-  F/ z
ph
ralxpf.3  |-  F/ x ps
ralxpf.4  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
rexxpf  |-  ( E. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, z, B, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    A( z)

Proof of Theorem rexxpf
StepHypRef Expression
1 ralxpf.1 . . . . . 6  |-  F/ y
ph
21nfn 1811 . . . . 5  |-  F/ y  -.  ph
3 ralxpf.2 . . . . . 6  |-  F/ z
ph
43nfn 1811 . . . . 5  |-  F/ z  -.  ph
5 ralxpf.3 . . . . . 6  |-  F/ x ps
65nfn 1811 . . . . 5  |-  F/ x  -.  ps
7 ralxpf.4 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
87notbid 286 . . . . 5  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( -.  ph  <->  -. 
ps ) )
92, 4, 6, 8ralxpf 5010 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B )  -.  ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  -.  ps )
10 ralnex 2707 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  -.  ps 
<->  -.  E. z  e.  B  ps )
1110ralbii 2721 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  -.  ps 
<-> 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
129, 11bitri 241 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B )  -.  ph  <->  A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
1312notbii 288 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  ( A  X.  B )  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
14 dfrex2 2710 . 2  |-  ( E. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  -. 
A. x  e.  ( A  X.  B )  -.  ph )
15 dfrex2 2710 . 2  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps  <->  -. 
A. y  e.  A  -.  E. z  e.  B  ps )
1613, 14, 153bitr4i 269 1  |-  ( E. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177   F/wnf 1553    = wceq 1652   A.wral 2697   E.wrex 2698   <.cop 3809    X. cxp 4867
This theorem is referenced by:  iunxpf  5012  wdom2d2  27043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-iun 4087  df-opab 4259  df-xp 4875  df-rel 4876
  Copyright terms: Public domain W3C validator