HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Unicode version

Theorem riesz1 22637
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 22638. For the continuous linear functional version, see riesz3i 22634 and riesz4 22636. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T
Dummy variable  z is distinct from all other variables.

Proof of Theorem riesz1
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 22629 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  ( normfn `  T )  e.  RR ) )
2 elin 3359 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn ) )
3 fveq1 5484 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( T `  x
)  =  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  x ) )
43eqeq1d 2292 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <-> 
( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
54rexralbidv 2588 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( E. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 x )  =  ( x  .ih  y
) ) )
6 inss1 3390 . . . . . . . 8  |-  ( LinFn  i^i  ConFn )  C_  LinFn
7 0lnfn 22557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
8 0cnfn 22552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ConFn
9 elin 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  /\  ( ~H  X.  { 0 } )  e.  ConFn ) )
107, 8, 9mpbir2an 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
1110elimel 3618 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
126, 11sselii 3178 . . . . . . 7  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn
13 inss2 3391 . . . . . . . 8  |-  ( LinFn  i^i  ConFn )  C_  ConFn
1413, 11sselii 3178 . . . . . . 7  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn
1512, 14riesz3i 22634 . . . . . 6  |-  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 x )  =  ( x  .ih  y
)
165, 15dedth 3607 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
172, 16sylbir 206 . . . 4  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
1817ex 425 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
19 normcl 21696 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
2019adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
21 fveq2 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  ( abs `  ( T `  x ) )  =  ( abs `  (
x  .ih  y )
) )
2221adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  =  ( abs `  ( x 
.ih  y ) ) )
23 bcs 21752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y )
) )
24 normcl 21696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
25 recn 8822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  x )  e.  RR  ->  ( normh `  x )  e.  CC )
26 recn 8822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  y )  e.  RR  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
27 mulcom 8818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) )
2825, 26, 27syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) )
2924, 19, 28syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
3023, 29breqtrd 4048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3130adantll 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3231adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( x  .ih  y
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3322, 32eqbrtrd 4044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3433ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  ( x  .ih  y
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3534an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  ( x  .ih  y
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3635ralimdva 2622 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
37 oveq1 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( z  x.  ( normh `  x )
)  =  ( (
normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3837breq2d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) )  <-> 
( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3938ralbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) ) )
4039rspcev 2885 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e. 
~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( z  x.  ( normh `  x )
) )
4120, 36, 40ee12an 1355 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e. 
~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( z  x.  ( normh `  x )
) ) )
4241rexlimdva 2668 . . . 4  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) ) ) )
43 lnfncon 22628 . . . 4  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) ) ) )
4442, 43sylibrd 227 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  T  e.  ConFn ) )
4518, 44impbid 185 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
461, 45bitr3d 248 1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    i^i cin 3152   ifcif 3566   {csn 3641   class class class wbr 4024    X. cxp 4686   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732    x. cmul 8737    <_ cle 8863   abscabs 11713   ~Hchil 21491    .ih csp 21494   normhcno 21495   normfncnmf 21523   ConFnccnfn 21525   LinFnclf 21526
This theorem is referenced by:  rnbra  22679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655  ax-his4 21656  ax-hcompl 21773
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-lm 16953  df-t1 17036  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-subgo 20961  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-dip 21266  df-ssp 21290  df-ph 21383  df-cbn 21434  df-hnorm 21540  df-hba 21541  df-hvsub 21543  df-hlim 21544  df-hcau 21545  df-sh 21778  df-ch 21793  df-oc 21823  df-ch0 21824  df-nmfn 22417  df-nlfn 22418  df-cnfn 22419  df-lnfn 22420
  Copyright terms: Public domain W3C validator