HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Unicode version

Theorem riesz1 23551
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 23552. For the continuous linear functional version, see riesz3i 23548 and riesz4 23550. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem riesz1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 23543 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  ( normfn `  T )  e.  RR ) )
2 elin 3517 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn ) )
3 fveq1 5713 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( T `  x
)  =  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  x ) )
43eqeq1d 2438 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <-> 
( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
54rexralbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( E. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 x )  =  ( x  .ih  y
) ) )
6 inss1 3548 . . . . . . . 8  |-  ( LinFn  i^i  ConFn )  C_  LinFn
7 0lnfn 23471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
8 0cnfn 23466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ConFn
9 elin 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  /\  ( ~H  X.  { 0 } )  e.  ConFn ) )
107, 8, 9mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
1110elimel 3778 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
126, 11sselii 3332 . . . . . . 7  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn
13 inss2 3549 . . . . . . . 8  |-  ( LinFn  i^i  ConFn )  C_  ConFn
1413, 11sselii 3332 . . . . . . 7  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn
1512, 14riesz3i 23548 . . . . . 6  |-  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 x )  =  ( x  .ih  y
)
165, 15dedth 3767 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
172, 16sylbir 205 . . . 4  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
1817ex 424 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
19 normcl 22610 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
2019adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
21 fveq2 5714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  ( abs `  ( T `  x ) )  =  ( abs `  (
x  .ih  y )
) )
2221adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  =  ( abs `  ( x 
.ih  y ) ) )
23 bcs 22666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y )
) )
24 normcl 22610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
25 recn 9064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  x )  e.  RR  ->  ( normh `  x )  e.  CC )
26 recn 9064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  y )  e.  RR  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
27 mulcom 9060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) )
2825, 26, 27syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) )
2924, 19, 28syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
3023, 29breqtrd 4223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3130adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3231adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( x  .ih  y
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3322, 32eqbrtrd 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3433ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  ( x  .ih  y
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3534an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  ( x  .ih  y
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3635ralimdva 2771 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
37 oveq1 6074 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( z  x.  ( normh `  x )
)  =  ( (
normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3837breq2d 4211 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) )  <-> 
( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3938ralbidv 2712 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) ) )
4039rspcev 3039 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e. 
~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( z  x.  ( normh `  x )
) )
4120, 36, 40ee12an 1372 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e. 
~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( z  x.  ( normh `  x )
) ) )
4241rexlimdva 2817 . . . 4  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) ) ) )
43 lnfncon 23542 . . . 4  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) ) ) )
4442, 43sylibrd 226 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  T  e.  ConFn ) )
4518, 44impbid 184 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
461, 45bitr3d 247 1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2692   E.wrex 2693    i^i cin 3306   ifcif 3726   {csn 3801   class class class wbr 4199    X. cxp 4862   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974    x. cmul 8979    <_ cle 9105   abscabs 12022   ~Hchil 22405    .ih csp 22408   normhcno 22409   normfncnmf 22437   ConFnccnfn 22439   LinFnclf 22440
This theorem is referenced by:  rnbra  23593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cc 8299  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054  ax-hilex 22485  ax-hfvadd 22486  ax-hvcom 22487  ax-hvass 22488  ax-hv0cl 22489  ax-hvaddid 22490  ax-hfvmul 22491  ax-hvmulid 22492  ax-hvmulass 22493  ax-hvdistr1 22494  ax-hvdistr2 22495  ax-hvmul0 22496  ax-hfi 22564  ax-his1 22567  ax-his2 22568  ax-his3 22569  ax-his4 22570  ax-hcompl 22687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-omul 6715  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-fi 7402  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-acn 7813  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-ioo 10904  df-ico 10906  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-seq 11307  df-exp 11366  df-hash 11602  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-clim 12265  df-rlim 12266  df-sum 12463  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-hom 13536  df-cco 13537  df-rest 13633  df-topn 13634  df-topgen 13650  df-pt 13651  df-prds 13654  df-xrs 13709  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-qtop 13716  df-imas 13717  df-xps 13719  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-mulg 14798  df-cntz 15099  df-cmn 15397  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-fbas 16682  df-fg 16683  df-cnfld 16687  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-topsp 16950  df-cld 17066  df-ntr 17067  df-cls 17068  df-nei 17145  df-cn 17274  df-cnp 17275  df-lm 17276  df-t1 17361  df-haus 17362  df-tx 17577  df-hmeo 17770  df-fil 17861  df-fm 17953  df-flim 17954  df-flf 17955  df-xms 18333  df-ms 18334  df-tms 18335  df-cfil 19191  df-cau 19192  df-cmet 19193  df-grpo 21762  df-gid 21763  df-ginv 21764  df-gdiv 21765  df-ablo 21853  df-subgo 21873  df-vc 22008  df-nv 22054  df-va 22057  df-ba 22058  df-sm 22059  df-0v 22060  df-vs 22061  df-nmcv 22062  df-ims 22063  df-dip 22180  df-ssp 22204  df-ph 22297  df-cbn 22348  df-hnorm 22454  df-hba 22455  df-hvsub 22457  df-hlim 22458  df-hcau 22459  df-sh 22692  df-ch 22707  df-oc 22737  df-ch0 22738  df-nmfn 23331  df-nlfn 23332  df-cnfn 23333  df-lnfn 23334
  Copyright terms: Public domain W3C validator