HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Unicode version

Theorem riesz1 22591
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 22592. For the continuous linear functional version, see riesz3i 22588 and riesz4 22590. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem riesz1
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 22583 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  ( normfn `  T )  e.  RR ) )
2 elin 3319 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn ) )
3 fveq1 5443 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( T `  x
)  =  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  x ) )
43eqeq1d 2264 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <-> 
( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
54rexralbidv 2560 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( E. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 x )  =  ( x  .ih  y
) ) )
6 inss1 3350 . . . . . . . 8  |-  ( LinFn  i^i  ConFn )  C_  LinFn
7 0lnfn 22511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
8 0cnfn 22506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ConFn
9 elin 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  /\  ( ~H  X.  { 0 } )  e.  ConFn ) )
107, 8, 9mpbir2an 891 . . . . . . . . 9  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
1110elimel 3577 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
126, 11sselii 3138 . . . . . . 7  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn
13 inss2 3351 . . . . . . . 8  |-  ( LinFn  i^i  ConFn )  C_  ConFn
1413, 11sselii 3138 . . . . . . 7  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn
1512, 14riesz3i 22588 . . . . . 6  |-  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 x )  =  ( x  .ih  y
)
165, 15dedth 3566 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
172, 16sylbir 206 . . . 4  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
1817ex 425 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
19 normcl 21650 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
2019adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
21 fveq2 5444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  ( abs `  ( T `  x ) )  =  ( abs `  (
x  .ih  y )
) )
2221adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  =  ( abs `  ( x 
.ih  y ) ) )
23 bcs 21706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y )
) )
24 normcl 21650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
25 recn 8781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  x )  e.  RR  ->  ( normh `  x )  e.  CC )
26 recn 8781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  y )  e.  RR  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
27 mulcom 8777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) )
2825, 26, 27syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) )
2924, 19, 28syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
3023, 29breqtrd 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3130adantll 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3231adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( x  .ih  y
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3322, 32eqbrtrd 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3433ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  ( x  .ih  y
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3534an32s 782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  ( x  .ih  y
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3635ralimdva 2594 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
37 oveq1 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( z  x.  ( normh `  x )
)  =  ( (
normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3837breq2d 3995 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) )  <-> 
( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3938ralbidv 2536 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) ) )
4039rcla4ev 2852 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e. 
~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( z  x.  ( normh `  x )
) )
4120, 36, 40ee12an 1359 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e. 
~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( z  x.  ( normh `  x )
) ) )
4241rexlimdva 2640 . . . 4  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) ) ) )
43 lnfncon 22582 . . . 4  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) ) ) )
4442, 43sylibrd 227 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  T  e.  ConFn ) )
4518, 44impbid 185 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
461, 45bitr3d 248 1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    i^i cin 3112   ifcif 3525   {csn 3600   class class class wbr 3983    X. cxp 4645   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   RRcr 8690   0cc0 8691    x. cmul 8696    <_ cle 8822   abscabs 11670   ~Hchil 21445    .ih csp 21448   normhcno 21449   normfncnmf 21477   ConFnccnfn 21479   LinFnclf 21480
This theorem is referenced by:  rnbra  22633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cc 8015  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771  ax-hilex 21525  ax-hfvadd 21526  ax-hvcom 21527  ax-hvass 21528  ax-hv0cl 21529  ax-hvaddid 21530  ax-hfvmul 21531  ax-hvmulid 21532  ax-hvmulass 21533  ax-hvdistr1 21534  ax-hvdistr2 21535  ax-hvmul0 21536  ax-hfi 21604  ax-his1 21607  ax-his2 21608  ax-his3 21609  ax-his4 21610  ax-hcompl 21727
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-lm 16907  df-t1 16990  df-haus 16991  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cfil 18629  df-cau 18630  df-cmet 18631  df-grpo 20804  df-gid 20805  df-ginv 20806  df-gdiv 20807  df-ablo 20895  df-subgo 20915  df-vc 21048  df-nv 21094  df-va 21097  df-ba 21098  df-sm 21099  df-0v 21100  df-vs 21101  df-nmcv 21102  df-ims 21103  df-dip 21220  df-ssp 21244  df-ph 21337  df-cbn 21388  df-hnorm 21494  df-hba 21495  df-hvsub 21497  df-hlim 21498  df-hcau 21499  df-sh 21732  df-ch 21747  df-oc 21777  df-ch0 21778  df-nmfn 22371  df-nlfn 22372  df-cnfn 22373  df-lnfn 22374
  Copyright terms: Public domain W3C validator