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Theorem riesz3i 23565
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1  |-  T  e. 
LinFn
nlelch.2  |-  T  e. 
ConFn
Assertion
Ref Expression
riesz3i  |-  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )
Distinct variable group:    w, v, T

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22506 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 nlelch.1 . . . . . . 7  |-  T  e. 
LinFn
32lnfnfi 23544 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> CC
4 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  =  ( _|_ `  0H ) )
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e. 
ConFn
62, 5nlelchi 23564 . . . . . . . . . 10  |-  ( null `  T )  e.  CH
76ococi 22907 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  =  ( null `  T )
8 choc0 22828 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H
94, 7, 83eqtr3g 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( null `  T )  =  ~H )
109eleq2d 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( v  e.  ( null `  T
)  <->  v  e.  ~H ) )
1110biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ( null `  T
) )
12 elnlfn2 23432 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  v  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  v
)  =  0 )
133, 11, 12sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  0 )
14 hi02 22599 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ~H  ->  (
v  .ih  0h )  =  0 )
1514adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  (
v  .ih  0h )  =  0 )
1613, 15eqtr4d 2471 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h ) )
1716ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
)
18 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( w  =  0h  ->  (
v  .ih  w )  =  ( v  .ih  0h ) )
1918eqeq2d 2447 . . . . 5  |-  ( w  =  0h  ->  (
( T `  v
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
) )
2019ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( w  =  0h  ->  ( A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
) )
2120rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h ) )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
221, 17, 21sylancr 645 . 2  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
236choccli 22809 . . . 4  |-  ( _|_ `  ( null `  T
) )  e.  CH
2423chne0i 22955 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =/= 
0H 
<->  E. u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) u  =/=  0h )
2523cheli 22735 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  ->  u  e.  ~H )
263ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( T `  u )  e.  CC )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( T `  u
)  e.  CC )
28 hicl 22582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( u  .ih  u
)  e.  CC )
2928anidms 627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
u  .ih  u )  e.  CC )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( u  .ih  u
)  e.  CC )
31 his6 22601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( u  .ih  u
)  =  0  <->  u  =  0h ) )
3231necon3bid 2636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( u  .ih  u
)  =/=  0  <->  u  =/=  0h ) )
3332biimpar 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( u  .ih  u
)  =/=  0 )
3427, 30, 33divcld 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
3534cjcld 12001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( * `  (
( T `  u
)  /  ( u 
.ih  u ) ) )  e.  CC )
36 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  ->  u  e.  ~H )
37 hvmulcl 22516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( * `  (
( T `  u
)  /  ( u 
.ih  u ) ) )  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
3938adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
40 hvmulcl 22516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H )
4126, 40sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H )
423ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ~H  ->  ( T `  v )  e.  CC )
43 hvmulcl 22516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
4442, 43sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
4544ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
46 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  u  e.  ~H )
47 his2sub 22594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  -  ( ( ( T `  v )  .h  u )  .ih  u ) ) )
4841, 45, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  -  ( ( ( T `  v )  .h  u )  .ih  u ) ) )
4926adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  u
)  e.  CC )
50 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ~H )
51 ax-his3 22586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  =  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) ) )
5249, 50, 46, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  .ih  u
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) ) )
5342adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v
)  e.  CC )
54 ax-his3 22586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  v )  .h  u
)  .ih  u )  =  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) )
5553, 46, 46, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 v )  .h  u )  .ih  u
)  =  ( ( T `  v )  x.  ( u  .ih  u ) ) )
5652, 55oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  .ih  u )  -  (
( ( T `  v )  .h  u
)  .ih  u )
)  =  ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  -  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) ) )
5748, 56eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  -  (
( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u ) )
5857adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  .ih  u ) )
59 hvsubcl 22520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ~H )
6041, 45, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ~H )
612lnfnsubi 23549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v ) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u
) ) ) )
6241, 45, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v ) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u
) ) ) )
632lnfnmuli 23547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  u
)  .h  v ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6426, 63sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  u
)  .h  v ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
652lnfnmuli 23547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  v )  x.  ( T `  u ) ) )
66 mulcom 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  ( T `  u )  e.  CC )  -> 
( ( T `  v )  x.  ( T `  u )
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6726, 66sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  x.  ( T `  u )
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6865, 67eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6942, 68sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
7069ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
7164, 70oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v
) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) )  -  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
) ) )
72 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  ( T `  v )  e.  CC )  -> 
( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
)  e.  CC )
7326, 42, 72syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
)  e.  CC )
7473subidd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  x.  ( T `  v
) )  -  (
( T `  u
)  x.  ( T `
 v ) ) )  =  0 )
7562, 71, 743eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  0 )
76 elnlfn 23431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T )  <->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ~H  /\  ( T `  ( (
( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) ) )  =  0 ) ) )
773, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  e. 
~H  /\  ( T `  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) ) )  =  0 ) )
7860, 75, 77sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T ) )
796chssii 22734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( null `  T )  C_  ~H
80 ocorth 22793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
null `  T )  C_ 
~H  ->  ( ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ( null `  T
)  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  .ih  u )  =  0 ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T )  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  ->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u )  =  0 )
8278, 81sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) ) )  -> 
( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  0 )
8382ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) )  /\  (
u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u )  =  0 )
8483anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  .ih  u )  =  0 )
8558, 84eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  0 )
86 hicl 22582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u
)  e.  CC )
8786ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u
)  e.  CC )
8849, 87mulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  e.  CC )
89 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  ( u  .ih  u )  e.  CC )  -> 
( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
9042, 29, 89syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
9188, 90subeq0ad 9421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  0  <-> 
( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  =  ( ( T `  v )  x.  ( u  .ih  u ) ) ) )
9291adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  -  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) )  =  0  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
9385, 92mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )
9493adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )
9588adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  e.  CC )
9642adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  e.  CC )
9730, 33jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( u  .ih  u )  e.  CC  /\  ( u  .ih  u
)  =/=  0 ) )
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( u 
.ih  u )  e.  CC  /\  ( u 
.ih  u )  =/=  0 ) )
99 divmul3 9683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  e.  CC  /\  ( T `  v )  e.  CC  /\  (
( u  .ih  u
)  e.  CC  /\  ( u  .ih  u )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
10095, 96, 98, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
101100adantlll 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
10294, 101mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( T `  v ) )
10327adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  u )  e.  CC )
10487adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u )  e.  CC )
105 div23 9697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  ( v  .ih  u
)  e.  CC  /\  ( ( u  .ih  u )  e.  CC  /\  ( u  .ih  u
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) )  x.  (
v  .ih  u )
) )
106103, 104, 98, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  x.  ( v 
.ih  u ) ) )
10734adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) )  e.  CC )
108 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ~H )
109 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  u  e.  ~H )
110 his52 22589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
v  .ih  ( (
* `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) )  =  ( ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) )  x.  ( v  .ih  u
) ) )
111107, 108, 109, 110syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) )  =  ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  x.  ( v 
.ih  u ) ) )
112106, 111eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
113112adantlll 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
114102, 113eqtr3d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
115114ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )
116 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  (
v  .ih  w )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )
117116eqeq2d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  (
( T `  v
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) ) )
118117ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  ( A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) ) )
119118rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H  /\  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12039, 115, 119syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
121120ex 424 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) )  /\  u  e.  ~H )  ->  (
u  =/=  0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) ) )
12225, 121mpdan 650 . . . 4  |-  ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  ->  ( u  =/= 
0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) ) )
123122rexlimiv 2824 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) ) u  =/= 
0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12424, 123sylbi 188 . 2  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =/= 
0H  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12522, 124pm2.61ine 2680 1  |-  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    x. cmul 8995    - cmin 9291    / cdiv 9677   *ccj 11901   ~Hchil 22422    .h csm 22424    .ih csp 22425   0hc0v 22427    -h cmv 22428   _|_cort 22433   0Hc0h 22438   nullcnl 22455   ConFnccnfn 22456   LinFnclf 22457
This theorem is referenced by:  riesz4i  23566  riesz1  23568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587  ax-hcompl 22704
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-lm 17293  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-subgo 21890  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-dip 22197  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365  df-hnorm 22471  df-hba 22472  df-hvsub 22474  df-hlim 22475  df-hcau 22476  df-sh 22709  df-ch 22724  df-oc 22754  df-ch0 22755  df-nlfn 23349  df-cnfn 23350  df-lnfn 23351
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