Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Unicode version

Theorem riesz4i 23559
 Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1
nlelch.2
Assertion
Ref Expression
riesz4i
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3
2 nlelch.2 . . 3
31, 2riesz3i 23558 . 2
4 r19.26 2831 . . . . 5
5 oveq12 6083 . . . . . . . 8
65adantl 453 . . . . . . 7
71lnfnfi 23537 . . . . . . . . . 10
87ffvelrni 5862 . . . . . . . . 9
98subidd 9392 . . . . . . . 8
109adantr 452 . . . . . . 7
116, 10eqtr3d 2470 . . . . . 6
1211ralimiaa 2773 . . . . 5
134, 12sylbir 205 . . . 4
14 hvsubcl 22513 . . . . . 6
15 oveq1 6081 . . . . . . . . 9
16 oveq1 6081 . . . . . . . . 9
1715, 16oveq12d 6092 . . . . . . . 8
1817eqeq1d 2444 . . . . . . 7
1918rspcv 3041 . . . . . 6
2014, 19syl 16 . . . . 5
21 normcl 22620 . . . . . . . . . 10
2221recnd 9107 . . . . . . . . 9
23 sqeq0 11439 . . . . . . . . 9
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8
25 norm-i 22624 . . . . . . . 8
2624, 25bitrd 245 . . . . . . 7
2714, 26syl 16 . . . . . 6
28 normsq 22629 . . . . . . . . 9
2914, 28syl 16 . . . . . . . 8
30 simpl 444 . . . . . . . . 9
31 simpr 448 . . . . . . . . 9
32 his2sub2 22588 . . . . . . . . 9
3314, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . 8
3429, 33eqtrd 2468 . . . . . . 7
3534eqeq1d 2444 . . . . . 6
36 hvsubeq0 22563 . . . . . 6
3727, 35, 363bitr3d 275 . . . . 5
3820, 37sylibd 206 . . . 4
3913, 38syl5 30 . . 3
4039rgen2a 2765 . 2
41 oveq2 6082 . . . . 5
4241eqeq2d 2447 . . . 4
4342ralbidv 2718 . . 3
4443reu4 3121 . 2
453, 40, 44mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2698  wrex 2699  wreu 2700  cfv 5447  (class class class)co 6074  cc 8981  cc0 8983   cmin 9284  c2 10042  cexp 11375  chil 22415   csp 22418  cno 22419  c0v 22420   cmv 22421  ccnfn 22449  clf 22450 This theorem is referenced by:  riesz4  23560 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cc 8308  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061  ax-addf 9062  ax-mulf 9063  ax-hilex 22495  ax-hfvadd 22496  ax-hvcom 22497  ax-hvass 22498  ax-hv0cl 22499  ax-hvaddid 22500  ax-hfvmul 22501  ax-hvmulid 22502  ax-hvmulass 22503  ax-hvdistr1 22504  ax-hvdistr2 22505  ax-hvmul0 22506  ax-hfi 22574  ax-his1 22577  ax-his2 22578  ax-his3 22579  ax-his4 22580  ax-hcompl 22697 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-omul 6722  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-acn 7822  df-cda 8041  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-xneg 10703  df-xadd 10704  df-xmul 10705  df-ioo 10913  df-ico 10915  df-icc 10916  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-seq 11317  df-exp 11376  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-clim 12275  df-rlim 12276  df-sum 12473  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-starv 13537  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-unif 13545  df-hom 13546  df-cco 13547  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-pt 13661  df-prds 13664  df-xrs 13719  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-qtop 13726  df-imas 13727  df-xps 13729  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-mulg 14808  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-psmet 16687  df-xmet 16688  df-met 16689  df-bl 16690  df-mopn 16691  df-fbas 16692  df-fg 16693  df-cnfld 16697  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-cld 17076  df-ntr 17077  df-cls 17078  df-nei 17155  df-cn 17284  df-cnp 17285  df-lm 17286  df-haus 17372  df-tx 17587  df-hmeo 17780  df-fil 17871  df-fm 17963  df-flim 17964  df-flf 17965  df-xms 18343  df-ms 18344  df-tms 18345  df-cfil 19201  df-cau 19202  df-cmet 19203  df-grpo 21772  df-gid 21773  df-ginv 21774  df-gdiv 21775  df-ablo 21863  df-subgo 21883  df-vc 22018  df-nv 22064  df-va 22067  df-ba 22068  df-sm 22069  df-0v 22070  df-vs 22071  df-nmcv 22072  df-ims 22073  df-dip 22190  df-ssp 22214  df-ph 22307  df-cbn 22358  df-hnorm 22464  df-hba 22465  df-hvsub 22467  df-hlim 22468  df-hcau 22469  df-sh 22702  df-ch 22717  df-oc 22747  df-ch0 22748  df-nlfn 23342  df-cnfn 23343  df-lnfn 23344
 Copyright terms: Public domain W3C validator