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Theorem rlim 12289
Description: Express the predicate: The limit of complex number function  F is  C, or  F converges to  C, in the real sense. This means that for any real  x, no matter how small, there always exists a number  y such that the absolute difference of any number in the function beyond  y and the limit is less than  x. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlim.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  B )
Assertion
Ref Expression
rlim  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    x, y, z, C    x, F, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y, z)

Proof of Theorem rlim
Dummy variables  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimrel 12287 . . . . 5  |-  Rel  ~~> r
21brrelex2i 4919 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  _V )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  _V )
)
4 elex 2964 . . . . 5  |-  ( C  e.  CC  ->  C  e.  _V )
54ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )  ->  C  e.  _V )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )  ->  C  e.  _V ) )
7 rlim.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 rlim.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 cnex 9071 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
10 reex 9081 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
11 elpm2r 7034 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
129, 10, 11mpanl12 664 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
137, 8, 12syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
14 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  ( CC 
^pm  RR )  <->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) ) )
15 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  C  ->  (
w  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
1614, 15bi2anan9 844 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( f  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  w  e.  CC ) 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  C  e.  CC ) ) )
17 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  f  =  F )
1817dmeqd 5072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  dom  f  =  dom  F )
19 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
20 oveq12 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  z
)  =  ( F `
 z )  /\  w  =  C )  ->  ( ( f `  z )  -  w
)  =  ( ( F `  z )  -  C ) )
2119, 20sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( f `  z )  -  w
)  =  ( ( F `  z )  -  C ) )
2221fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( abs `  (
( f `  z
)  -  w ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
2322breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( abs `  (
( f `  z
)  -  w ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
2423imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( f `  z )  -  w
) )  <  x
)  <->  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
2518, 24raleqbidv 2916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( A. z  e. 
dom  f ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  w ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
2625rexbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  f ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  w ) )  < 
x )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
2726ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  f
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( f `  z
)  -  w ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
2816, 27anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( ( f  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  w  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  f ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  w ) )  < 
x ) )  <->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm 
RR )  /\  C  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
29 df-rlim 12283 . . . . . . 7  |-  ~~> r  =  { <. f ,  w >.  |  ( ( f  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  w  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  f ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  w ) )  < 
x ) ) }
3028, 29brabga 4469 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  C  e.  _V )  ->  ( F 
~~> r  C  <->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm 
RR )  /\  C  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
31 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  C  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
3230, 31syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  C  e.  _V )  ->  ( F 
~~> r  C  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
3332ex 424 . . . 4  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  ( C  e.  _V  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) ) )
3413, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  _V  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) ) )
353, 6, 34pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
3613biantrurd 495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
37 fdm 5595 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
387, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3938raleqdv 2910 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
40 rlim.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  B )
4140oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  -  C )  =  ( B  -  C ) )
4241fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  =  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4342breq1d 4222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) )
4443imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
4544ralbidva 2721 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
4639, 45bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4746rexbidv 2726 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4847ralbidv 2725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4948anbi2d 685 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) ) )
5035, 36, 493bitr2d 273 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^pm cpm 7019   CCcc 8988   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   RR+crp 10612   abscabs 12039    ~~> r crli 12279
This theorem is referenced by:  rlim2  12290  rlimcl  12297  rlimclim  12340  rlimres  12352  caurcvgr  12467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-pm 7021  df-rlim 12283
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