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Theorem rlim 11920
Description: Express the predicate: The limit of complex number function  F is  C, or  F converges to  C, in the real sense. This means that for any real  x, no matter how small, there always exists a number  y such that the absolute difference of any number in the function beyond  y and the limit is less than  x. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlim.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  B )
Assertion
Ref Expression
rlim  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    x, y, z, C    x, F, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y, z)

Proof of Theorem rlim
StepHypRef Expression
1 rlimrel 11918 . . . . 5  |-  Rel  ~~> r
21brrelex2i 4704 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  _V )
32a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  _V )
)
4 elex 2765 . . . . 5  |-  ( C  e.  CC  ->  C  e.  _V )
54ad2antrl 711 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )  ->  C  e.  _V )
65a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )  ->  C  e.  _V ) )
7 rlim.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 rlim.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 cnex 8772 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
10 reex 8782 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
11 elpm2r 6742 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
129, 10, 11mpanl12 666 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
137, 8, 12syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
14 eleq1 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  ( CC 
^pm  RR )  <->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) ) )
15 eleq1 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  C  ->  (
w  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
1614, 15bi2anan9 848 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( f  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  w  e.  CC ) 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  C  e.  CC ) ) )
17 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  f  =  F )
1817dmeqd 4855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  dom  f  =  dom  F )
19 fveq1 5443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
20 oveq12 5787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  z
)  =  ( F `
 z )  /\  w  =  C )  ->  ( ( f `  z )  -  w
)  =  ( ( F `  z )  -  C ) )
2119, 20sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( f `  z )  -  w
)  =  ( ( F `  z )  -  C ) )
2221fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( abs `  (
( f `  z
)  -  w ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
2322breq1d 3993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( abs `  (
( f `  z
)  -  w ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
2423imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( f `  z )  -  w
) )  <  x
)  <->  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
2518, 24raleqbidv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( A. z  e. 
dom  f ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  w ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
2625rexbidv 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  f ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  w ) )  < 
x )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
2726ralbidv 2536 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  f
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( f `  z
)  -  w ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
2816, 27anbi12d 694 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  C )  ->  ( ( ( f  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  w  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  f ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  w ) )  < 
x ) )  <->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm 
RR )  /\  C  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
29 df-rlim 11914 . . . . . . 7  |-  ~~> r  =  { <. f ,  w >.  |  ( ( f  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  w  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  f ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  w ) )  < 
x ) ) }
3028, 29brabga 4237 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  C  e.  _V )  ->  ( F 
~~> r  C  <->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm 
RR )  /\  C  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
31 anass 633 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  C  e.  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
3230, 31syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  C  e.  _V )  ->  ( F 
~~> r  C  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
3332ex 425 . . . 4  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  ( C  e.  _V  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) ) )
3413, 33syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  _V  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) ) )
353, 6, 34pm5.21ndd 345 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
3613biantrurd 496 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
37 fdm 5317 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
387, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3938raleqdv 2713 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
40 rlim.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  B )
4140oveq1d 5793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  -  C )  =  ( B  -  C ) )
4241fveq2d 5448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  =  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4342breq1d 3993 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) )
4443imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
4544ralbidva 2532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
4639, 45bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4746rexbidv 2537 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4847ralbidv 2536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4948anbi2d 687 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) ) )
5035, 36, 493bitr2d 274 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   class class class wbr 3983   dom cdm 4647   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    ^pm cpm 6727   CCcc 8689   RRcr 8690    < clt 8821    <_ cle 8822    - cmin 8991   RR+crp 10307   abscabs 11670    ~~> r crli 11910
This theorem is referenced by:  rlim2  11921  rlimcl  11928  rlimclim  11971  rlimres  11983  caurcvgr  12097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-pm 6729  df-rlim 11914
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