MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimabs Structured version   Unicode version

Theorem rlimabs 12394
Description: Limit of the absolute value of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimabs.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimabs.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
Assertion
Ref Expression
rlimabs  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  ~~> r  ( abs `  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem rlimabs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimabs.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimabs.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
31, 2rlimmptrcl 12393 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimcl 12289 . . 3  |-  ( ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
52, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 absf 12133 . . . 4  |-  abs : CC
--> RR
7 ax-resscn 9039 . . . 4  |-  RR  C_  CC
8 fss 5591 . . . 4  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  abs : CC --> CC )
96, 7, 8mp2an 654 . . 3  |-  abs : CC
--> CC
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  abs : CC --> CC )
11 abscn2 12384 . . 3  |-  ( ( C  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  C ) ) )  <  x ) )
125, 11sylan 458 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  C ) ) )  <  x ) )
133, 5, 2, 10, 12rlimcn1b 12375 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  ~~> r  ( abs `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981    < clt 9112    - cmin 9283   RR+crp 10604   abscabs 12031    ~~> r crli 12271
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim2  19908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-rlim 12275
  Copyright terms: Public domain W3C validator