MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimadd Unicode version

Theorem rlimadd 12046
Description: Limit of the sum of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
rlimadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimadd.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Assertion
Ref Expression
rlimadd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  ~~> r  ( D  +  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x    x, E
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem rlimadd
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimadd.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
31, 2rlimmptrcl 12011 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimadd.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
5 rlimadd.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
64, 5rlimmptrcl 12011 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7 rlimcl 11907 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
82, 7syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9 rlimcl 11907 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  ->  E  e.  CC )
105, 9syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
11 ax-addf 8749 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
1211a1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  +  : ( CC 
X.  CC ) --> CC )
13 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
148adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  D  e.  CC )
1510adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E  e.  CC )
16 addcn2 11997 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  D  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  E. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  D ) )  <  z  /\  ( abs `  ( v  -  E ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( u  +  v )  -  ( D  +  E ) ) )  <  y ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1187 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  D ) )  <  z  /\  ( abs `  ( v  -  E ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( u  +  v )  -  ( D  +  E ) ) )  <  y ) )
183, 6, 8, 10, 2, 5, 12, 17rlimcn2 11994 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  ~~> r  ( D  +  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017    X. cxp 4624   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668    + caddc 8673    < clt 8800    - cmin 8970   RR+crp 10286   abscabs 11649    ~~> r crli 11889
This theorem is referenced by:  caucvgr  12078  fsumrlim  12199  logfacrlim  20390  logexprlim  20391  chpchtlim  20555  selberglem2  20622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-rlim 11893
  Copyright terms: Public domain W3C validator