MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcj Unicode version

Theorem rlimcj 12034
Description: Limit of the complex conjugate of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimabs.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimabs.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
Assertion
Ref Expression
rlimcj  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( * `  B
) )  ~~> r  ( * `  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem rlimcj
StepHypRef Expression
1 rlimabs.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimabs.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
31, 2rlimmptrcl 12032 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimcl 11928 . . 3  |-  ( ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
52, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 cjf 11540 . . 3  |-  * : CC --> CC
76a1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  * : CC --> CC )
8 cjcn2 12024 . . 3  |-  ( ( C  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( * `  z
)  -  ( * `
 C ) ) )  <  x ) )
95, 8sylan 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( * `  z
)  -  ( * `
 C ) ) )  <  x ) )
103, 5, 2, 7, 9rlimcn1b 12014 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( * `  B
) )  ~~> r  ( * `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689    < clt 8821    - cmin 8991   RR+crp 10307   *ccj 11532   abscabs 11670    ~~> r crli 11910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-pm 6729  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-rp 10308  df-seq 10999  df-exp 11057  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-rlim 11914
  Copyright terms: Public domain W3C validator