Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim Unicode version

Theorem rlimclim 12036
 Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim.1
rlimclim.2
rlimclim.3
Assertion
Ref Expression
rlimclim

Proof of Theorem rlimclim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimclim.1 . . 3
2 rlimclim.2 . . . 4
4 simpr 447 . . 3
5 rlimclim.3 . . . . 5
6 fdm 5409 . . . . 5
7 eqimss2 3244 . . . . 5
85, 6, 73syl 18 . . . 4
101, 3, 4, 9rlimclim1 12035 . 2
11 climcl 11989 . . . 4
132ad2antrr 706 . . . . . 6
14 simpr 447 . . . . . 6
15 eqidd 2297 . . . . . 6
16 simplr 731 . . . . . 6
171, 13, 14, 15, 16climi2 12001 . . . . 5
18 uzssz 10263 . . . . . . . . . . . . . 14
191, 18eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . 13
20 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 20sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12
22 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13
2319, 22sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12
24 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12
25 eluz2 10252 . . . . . . . . . . . 12
2621, 23, 24, 25syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . 11
27 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11
28 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
3029fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
3130breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12
3231rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11
3326, 27, 32sylc 56 . . . . . . . . . 10
3433expr 598 . . . . . . . . 9
3534ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
3635expr 598 . . . . . . 7
3736reximdva 2668 . . . . . 6
38 zssre 10047 . . . . . . . 8
3919, 38sstri 3201 . . . . . . 7
40 ssrexv 3251 . . . . . . 7
4139, 40ax-mp 8 . . . . . 6
4237, 41syl6 29 . . . . 5
4317, 42mpd 14 . . . 4
4443ralrimiva 2639 . . 3
455adantr 451 . . . 4
4639a1i 10 . . . 4
47 eqidd 2297 . . . 4
4845, 46, 47rlim 11985 . . 3
4912, 44, 48mpbir2and 888 . 2
5010, 49impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   wss 3165   class class class wbr 4039   cdm 4705  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cabs 11735   cli 11974   crli 11975 This theorem is referenced by:  climmpt2  12063  climrecl  12073  climge0  12074  caurcvg  12165  caucvg  12167  climfsum  12294  divcnv  12328  dfef2  20281  faclimlem5  24121 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fl 10941  df-clim 11978  df-rlim 11979
 Copyright terms: Public domain W3C validator