MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim1 Structured version   Unicode version

Theorem rlimclim1 12331
Description: Forward direction of rlimclim 12332. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim1.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
rlimclim1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
rlimclim1.3  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  A )
rlimclim1.4  |-  ( ph  ->  Z  C_  dom  F )
Assertion
Ref Expression
rlimclim1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )

Proof of Theorem rlimclim1
Dummy variables  j 
k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
21rgenw 2765 . . . . . 6  |-  A. w  e.  dom  F ( F `
 w )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  dom  F ( F `
 w )  e. 
_V )
4 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
5 rlimclim1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  A )
6 rlimf 12287 . . . . . . . . 9  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F : dom  F --> CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F : dom  F --> CC )
98feqmptd 5771 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  =  ( w  e.  dom  F 
|->  ( F `  w
) ) )
105adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  ~~> r  A
)
119, 10eqbrtrrd 4226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( w  e.  dom  F  |->  ( F `
 w ) )  ~~> r  A )
123, 4, 11rlimi 12299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y ) )
13 rlimclim1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1413ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
15 flcl 11196 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( |_ `  z )  e.  ZZ )
1615peano2zd 10370 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  ZZ )
1716ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  ZZ )
18 ifcl 3767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
1917, 14, 18syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
2014zred 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  e.  RR )
2117zred 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  RR )
22 max1 10765 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
2320, 21, 22syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
24 eluz2 10486 . . . . . . 7  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
) ) )
2514, 19, 23, 24syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
26 rlimclim1.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2725, 26syl6eleqr 2526 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z )
28 rlimclim1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  C_  dom  F )
2928ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  Z  C_  dom  F )
3026uztrn2 10495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
3127, 30sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
3229, 31sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  dom  F )
33 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y ) )
34 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  e.  RR )
3516zred 10367 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  RR )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )
3720adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  M  e.  RR )
38 ifcl 3767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
3936, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
40 eluzelre 10489 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )  ->  k  e.  RR )
4140adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  RR )
42 fllep1 11202 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  z  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) )
4334, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) )
44 max2 10767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  z )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
4537, 36, 44syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( ( |_ `  z )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
4634, 36, 39, 43, 45letrd 9219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
) )
47 eluzle 10490 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
4847adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
4934, 39, 41, 46, 48letrd 9219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  k )
50 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  k  ->  (
z  <_  w  <->  z  <_  k ) )
51 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
5251oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
)  -  A )  =  ( ( F `
 k )  -  A ) )
5352fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  k  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) ) )
5453breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
) )
5550, 54imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  (
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) ) )
5655rspcv 3040 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  dom  F  -> 
( A. w  e. 
dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y )  ->  (
z  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  y ) ) )
5732, 33, 49, 56syl3c 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
)
5857ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
59 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( j  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( ZZ>= `  j )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) ) )
6059raleqdv 2902 . . . . . 6  |-  ( j  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
6160rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  y )
6227, 58, 61syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
6312, 62rexlimddv 2826 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
6463ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
)
65 rlimpm 12286 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
665, 65syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
67 eqidd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
68 rlimcl 12289 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  A  e.  CC )
695, 68syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7028sselda 3340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
717ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7270, 71syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7326, 13, 66, 67, 69, 72clim2c 12291 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
7464, 73mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^pm cpm 7011   CCcc 8980   RRcr 8981   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   |_cfl 11193   abscabs 12031    ~~> cli 12270    ~~> r crli 12271
This theorem is referenced by:  rlimclim  12332  dchrisumlema  21174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fl 11194  df-clim 12274  df-rlim 12275
  Copyright terms: Public domain W3C validator