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Theorem rlimclim1 12021
Description: Forward direction of rlimclim 12022. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim1.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
rlimclim1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
rlimclim1.3  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  A )
rlimclim1.4  |-  ( ph  ->  Z  C_  dom  F )
Assertion
Ref Expression
rlimclim1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )

Proof of Theorem rlimclim1
Dummy variables  j 
k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5541 . . . . . . 7  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
21rgenw 2612 . . . . . 6  |-  A. w  e.  dom  F ( F `
 w )  e. 
_V
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  dom  F ( F `
 w )  e. 
_V )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
5 rlimclim1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  A )
6 rlimf 11977 . . . . . . . . 9  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F : dom  F --> CC )
75, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F : dom  F --> CC )
98feqmptd 5577 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  =  ( w  e.  dom  F 
|->  ( F `  w
) ) )
105adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  ~~> r  A
)
119, 10eqbrtrrd 4047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( w  e.  dom  F  |->  ( F `
 w ) )  ~~> r  A )
123, 4, 11rlimi 11989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y ) )
13 rlimclim1.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
15 flcl 10929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  ( |_ `  z )  e.  ZZ )
1615peano2zd 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  ZZ )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  ZZ )
18 ifcl 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
1917, 14, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
2014zred 10119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  e.  RR )
2117zred 10119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  RR )
22 max1 10516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
2320, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
24 eluz2 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
) ) )
2514, 19, 23, 24syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
26 rlimclim1.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2725, 26syl6eleqr 2376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z )
28 rlimclim1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  C_  dom  F )
2928ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  Z  C_  dom  F )
3026uztrn2 10247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
3127, 30sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
3229, 31sseldd 3183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  dom  F )
33 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y ) )
34 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  e.  RR )
3516zred 10119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  RR )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )
3720adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  M  e.  RR )
38 ifcl 3603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
3936, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
40 eluzelre 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )  ->  k  e.  RR )
4140adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  RR )
42 fllep1 10935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  z  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) )
4334, 42syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) )
44 max2 10518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  z )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
4537, 36, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( ( |_ `  z )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
4634, 36, 39, 43, 45letrd 8975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
) )
47 eluzle 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
4847adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
4934, 39, 41, 46, 48letrd 8975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  k )
50 breq2 4029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  k  ->  (
z  <_  w  <->  z  <_  k ) )
51 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
5251oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
)  -  A )  =  ( ( F `
 k )  -  A ) )
5352fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  k  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) ) )
5453breq1d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
) )
5550, 54imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  k  ->  (
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) ) )
5655rspcv 2882 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  dom  F  -> 
( A. w  e. 
dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y )  ->  (
z  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  y ) ) )
5732, 33, 49, 56syl3c 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
)
5857ralrimiva 2628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
59 fveq2 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( ZZ>= `  j )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) ) )
6059raleqdv 2744 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
6160rspcev 2886 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  y )
6227, 58, 61syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
6362expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  y ) )
6463rexlimdva 2669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  RR  A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
6512, 64mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
6665ralrimiva 2628 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
)
67 rlimpm 11976 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
685, 67syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
69 eqidd 2286 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
70 rlimcl 11979 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  A  e.  CC )
715, 70syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7228sselda 3182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
73 ffvelrn 5665 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
747, 73sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7572, 74syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7626, 13, 68, 69, 71, 75clim2c 11981 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
7766, 76mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   ifcif 3567   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   dom cdm 4691   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    ^pm cpm 6775   CCcc 8737   RRcr 8738   1c1 8740    + caddc 8742    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356   |_cfl 10926   abscabs 11721    ~~> cli 11960    ~~> r crli 11961
This theorem is referenced by:  rlimclim  12022  dchrisumlema  20639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fl 10927  df-clim 11964  df-rlim 11965
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