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Theorem rlimcn1 12310
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn1.1  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
rlimcn1.2  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
rlimcn1.3  |-  ( ph  ->  G  ~~> r  C )
rlimcn1.4  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
rlimcn1.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
rlimcn1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  ~~> r  ( F `
 C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, z, F, y   
x, G, y, z    ph, x, y    x, C, y, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    X( x, y)

Proof of Theorem rlimcn1
Dummy variables  w  c  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcn1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
21ffvelrnda 5810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  X )
31feqmptd 5719 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  A  |->  ( G `
 w ) ) )
4 rlimcn1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
54feqmptd 5719 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( v  e.  X  |->  ( F `
 v ) ) )
6 fveq2 5669 . . 3  |-  ( v  =  ( G `  w )  ->  ( F `  v )  =  ( F `  ( G `  w ) ) )
72, 3, 5, 6fmptco 5841 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )
8 rlimcn1.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
9 fvex 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 w )  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w
)  e.  _V )
1110ralrimiva 2733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  A  ( G `  w )  e.  _V )
12 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
13 rlimcn1.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~> r  C )
143, 13eqbrtrrd 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( G `  w
) )  ~~> r  C
)
1514ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
w  e.  A  |->  ( G `  w ) )  ~~> r  C )
1611, 12, 15rlimi 12235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y ) )
17 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ph )
1817, 2sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  X )
19 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
) )  <  x
) )
20 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
z  -  C )  =  ( ( G `
 w )  -  C ) )
2120fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( abs `  ( z  -  C ) )  =  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) ) )
2221breq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  C
) )  <  y
) )
23 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  w ) ) )
2423oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 ( G `  w ) )  -  ( F `  C ) ) )
2524fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) ) )
2625breq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  w ) )  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
2722, 26imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  <-> 
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
2827rspcv 2992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  w )  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  w )  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
2918, 19, 28sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
3029imim2d 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3130ralimdva 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3231reximdv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ( E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  C ) )  <  y )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) )
3332expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  ( E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) ) )
3416, 33mpid 39 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) )
3534rexlimdva 2774 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
) )  <  x
)  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
368, 35mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
3736ralrimiva 2733 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  (
c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) )
384ffvelrnda 5810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  X
)  ->  ( F `  ( G `  w
) )  e.  CC )
392, 38syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  w ) )  e.  CC )
4039ralrimiva 2733 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  A  ( F `  ( G `
 w ) )  e.  CC )
41 fdm 5536 . . . . . 6  |-  ( G : A --> X  ->  dom  G  =  A )
421, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  =  A )
43 rlimss 12224 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> r  C  ->  dom  G 
C_  RR )
4413, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  C_  RR )
4542, 44eqsstr3d 3327 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
46 rlimcn1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
474, 46ffvelrnd 5811 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4840, 45, 47rlim2 12218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  A  |->  ( F `  ( G `  w ) ) )  ~~> r  ( F `  C )  <->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
4937, 48mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( F `  ( G `  w )
) )  ~~> r  ( F `  C ) )
507, 49eqbrtrd 4174 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  ~~> r  ( F `
 C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819    o. ccom 4823   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   RR+crp 10545   abscabs 11967    ~~> r crli 12207
This theorem is referenced by:  rlimcn1b  12311  rlimdiv  12367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-pm 6958  df-rlim 12211
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