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Theorem rlimcn1 12078
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn1.1  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
rlimcn1.2  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
rlimcn1.3  |-  ( ph  ->  G  ~~> r  C )
rlimcn1.4  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
rlimcn1.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
rlimcn1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  ~~> r  ( F `
 C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, z, F, y   
x, G, y, z    ph, x, y    x, C, y, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    X( x, y)

Proof of Theorem rlimcn1
Dummy variables  w  c  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcn1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
2 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( G : A --> X  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w
)  e.  X )
31, 2sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  X )
41feqmptd 5591 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  A  |->  ( G `
 w ) ) )
5 rlimcn1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
65feqmptd 5591 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( v  e.  X  |->  ( F `
 v ) ) )
7 fveq2 5541 . . 3  |-  ( v  =  ( G `  w )  ->  ( F `  v )  =  ( F `  ( G `  w ) ) )
83, 4, 6, 7fmptco 5707 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )
9 rlimcn1.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
10 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 w )  e. 
_V
1110a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w
)  e.  _V )
1211ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  A  ( G `  w )  e.  _V )
13 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
14 rlimcn1.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~> r  C )
154, 14eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( G `  w
) )  ~~> r  C
)
1615ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
w  e.  A  |->  ( G `  w ) )  ~~> r  C )
1712, 13, 16rlimi 12003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y ) )
18 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ph )
1918, 3sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  X )
20 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
) )  <  x
) )
21 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
z  -  C )  =  ( ( G `
 w )  -  C ) )
2221fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( abs `  ( z  -  C ) )  =  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) ) )
2322breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  C
) )  <  y
) )
24 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  w ) ) )
2524oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 ( G `  w ) )  -  ( F `  C ) ) )
2625fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) ) )
2726breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  w ) )  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
2823, 27imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  <-> 
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
2928rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  w )  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  w )  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3019, 20, 29sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
3130imim2d 48 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3231ralimdva 2634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3332reximdv 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ( E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  C ) )  <  y )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) )
3433expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  ( E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) ) )
3517, 34mpid 37 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) )
3635rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
) )  <  x
)  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
379, 36mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
3837ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  (
c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) )
39 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> CC  /\  ( G `  w )  e.  X )  -> 
( F `  ( G `  w )
)  e.  CC )
405, 39sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  X
)  ->  ( F `  ( G `  w
) )  e.  CC )
413, 40syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  w ) )  e.  CC )
4241ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  A  ( F `  ( G `
 w ) )  e.  CC )
43 fdm 5409 . . . . . 6  |-  ( G : A --> X  ->  dom  G  =  A )
441, 43syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  =  A )
45 rlimss 11992 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> r  C  ->  dom  G 
C_  RR )
4614, 45syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  C_  RR )
4744, 46eqsstr3d 3226 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
48 rlimcn1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
49 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( F : X --> CC  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
505, 48, 49syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5142, 47, 50rlim2 11986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  A  |->  ( F `  ( G `  w ) ) )  ~~> r  ( F `  C )  <->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
5238, 51mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( F `  ( G `  w )
) )  ~~> r  ( F `  C ) )
538, 52eqbrtrd 4059 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  ~~> r  ( F `
 C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370   abscabs 11735    ~~> r crli 11975
This theorem is referenced by:  rlimcn1b  12079  rlimdiv  12135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-pm 6791  df-rlim 11979
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