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Theorem rlimcn1 12013
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn1.1  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
rlimcn1.2  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
rlimcn1.3  |-  ( ph  ->  G  ~~> r  C )
rlimcn1.4  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
rlimcn1.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
rlimcn1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  ~~> r  ( F `
 C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, z, F, y   
x, G, y, z    ph, x, y    x, C, y, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    X( x, y)

Proof of Theorem rlimcn1
StepHypRef Expression
1 rlimcn1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
2 ffvelrn 5583 . . . 4  |-  ( ( G : A --> X  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w
)  e.  X )
31, 2sylan 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  X )
41feqmptd 5495 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  A  |->  ( G `
 w ) ) )
5 rlimcn1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
65feqmptd 5495 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( v  e.  X  |->  ( F `
 v ) ) )
7 fveq2 5444 . . 3  |-  ( v  =  ( G `  w )  ->  ( F `  v )  =  ( F `  ( G `  w ) ) )
83, 4, 6, 7fmptco 5611 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )
9 rlimcn1.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
10 fvex 5458 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 w )  e. 
_V
1110a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w
)  e.  _V )
1211ralrimiva 2599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  A  ( G `  w )  e.  _V )
13 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
14 rlimcn1.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~> r  C )
154, 14eqbrtrrd 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( G `  w
) )  ~~> r  C
)
1615ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
w  e.  A  |->  ( G `  w ) )  ~~> r  C )
1712, 13, 16rlimi 11938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y ) )
18 simpll 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ph )
1918, 3sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  X )
20 simplrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
) )  <  x
) )
21 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
z  -  C )  =  ( ( G `
 w )  -  C ) )
2221fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( abs `  ( z  -  C ) )  =  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) ) )
2322breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  C
) )  <  y
) )
24 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  w ) ) )
2524oveq1d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 ( G `  w ) )  -  ( F `  C ) ) )
2625fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) ) )
2726breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  w ) )  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
2823, 27imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  <-> 
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
2928rcla4v 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  w )  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  w )  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3019, 20, 29sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
3130imim2d 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3231ralimdva 2594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3332reximdv 2627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ( E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  C ) )  <  y )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) )
3433expr 601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  ( E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) ) )
3517, 34mpid 39 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) )
3635rexlimdva 2640 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
) )  <  x
)  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
379, 36mpd 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
3837ralrimiva 2599 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  (
c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) )
39 ffvelrn 5583 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> CC  /\  ( G `  w )  e.  X )  -> 
( F `  ( G `  w )
)  e.  CC )
405, 39sylan 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  X
)  ->  ( F `  ( G `  w
) )  e.  CC )
413, 40syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  w ) )  e.  CC )
4241ralrimiva 2599 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  A  ( F `  ( G `
 w ) )  e.  CC )
43 fdm 5317 . . . . . 6  |-  ( G : A --> X  ->  dom  G  =  A )
441, 43syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  =  A )
45 rlimss 11927 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> r  C  ->  dom  G 
C_  RR )
4614, 45syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  C_  RR )
4744, 46eqsstr3d 3174 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
48 rlimcn1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
49 ffvelrn 5583 . . . . 5  |-  ( ( F : X --> CC  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
505, 48, 49syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5142, 47, 50rlim2 11921 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  A  |->  ( F `  ( G `  w ) ) )  ~~> r  ( F `  C )  <->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
5238, 51mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( F `  ( G `  w )
) )  ~~> r  ( F `  C ) )
538, 52eqbrtrd 4003 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  ~~> r  ( F `
 C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   dom cdm 4647    o. ccom 4651   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   RRcr 8690    < clt 8821    <_ cle 8822    - cmin 8991   RR+crp 10307   abscabs 11670    ~~> r crli 11910
This theorem is referenced by:  rlimcn1b  12014  rlimdiv  12070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-pm 6729  df-rlim 11914
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