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Theorem rlimcn2 12080
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn2.1a  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
rlimcn2.1b  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
rlimcn2.2a  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
rlimcn2.2b  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
rlimcn2.3a  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R
)
rlimcn2.3b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S
)
rlimcn2.4  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
rlimcn2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
rlimcn2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, z, A    u, r,
v, F, s, x, z    R, r, s, u, v, x, z    B, r, s, u, v, x    ph, r, s, x, z    S, r, s, u, v, x, z    C, r, s, v, x    u, X, z    u, Y, v, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    A( v, u)    B( z)    C( z, u)    X( x, v, s, r)    Y( x, s, r)

Proof of Theorem rlimcn2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcn2.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
2 rlimcn2.1a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
32ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  X )
43adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  A  B  e.  X )
5 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR+ )
6 rlimcn2.3a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R
)
76adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R )
84, 5, 7rlimi 12003 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
) )
9 rlimcn2.1b . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
109ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  C  e.  Y )
1110adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  A  C  e.  Y )
12 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  s  e.  RR+ )
13 rlimcn2.3b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S
)
1413adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S )
1511, 12, 14rlimi 12003 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )
16 reeanv 2720 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  <->  ( E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
17 r19.26 2688 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  <->  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
18 prth 554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( (
a  <_  z  /\  b  <_  z )  -> 
( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) )
19 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  a  e.  RR )
20 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  b  e.  RR )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
222, 21fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B ) : A --> X )
23 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  |->  B ) : A --> X  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
25 rlimss 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
266, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
2724, 26eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2928sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
30 maxle 10535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  <->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
3119, 20, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  <->  ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z ) ) )
3231imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  <-> 
( ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z )  ->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) ) )
3318, 32syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r )  /\  (
b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) ) )
3433ralimdva 2634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) ) )
35 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
3635ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
3736ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  if (
a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
382adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
399adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
4038, 39jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  Y
) )
41 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  B  ->  (
u  -  R )  =  ( B  -  R ) )
4241fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  B  ->  ( abs `  ( u  -  R ) )  =  ( abs `  ( B  -  R )
) )
4342breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  B  ->  (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  <->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
) )
4443anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  B  ->  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  <->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( v  -  S
) )  <  s
) ) )
45 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  B  ->  (
u F v )  =  ( B F v ) )
4645oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  B  ->  (
( u F v )  -  ( R F S ) )  =  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )
4746fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  B  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( R F S ) ) )  =  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) ) )
4847breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  B  ->  (
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
4944, 48imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  B  ->  (
( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
50 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  C  ->  (
v  -  S )  =  ( C  -  S ) )
5150fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  C  ->  ( abs `  ( v  -  S ) )  =  ( abs `  ( C  -  S )
) )
5251breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  C  ->  (
( abs `  (
v  -  S ) )  <  s  <->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )
5352anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  C  ->  (
( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  <->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
54 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  C  ->  ( B F v )  =  ( B F C ) )
5554oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  C  ->  (
( B F v )  -  ( R F S ) )  =  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )
5655fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  C  ->  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )  =  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) ) )
5756breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  C  ->  (
( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
5853, 57imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  C  ->  (
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
5949, 58rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6040, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  A )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6160imim2d 48 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  A )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x
) ) )
6261an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6362ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6463adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
65 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( c  <_  z  <->  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z )
)
6665imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6766ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6867rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR  /\ 
A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6937, 64, 68ee12an 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7069ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7170com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7234, 71syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7317, 72syl5bir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7473rexlimdvva 2687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7516, 74syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
( E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
768, 15, 75mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7776rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7877imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
791, 78syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
8079ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  (
c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
81 rlimcn2.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
8281adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
83 fovrn 6006 . . . . 5  |-  ( ( F : ( X  X.  Y ) --> CC 
/\  B  e.  X  /\  C  e.  Y
)  ->  ( B F C )  e.  CC )
8482, 2, 9, 83syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( B F C )  e.  CC )
8584ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( B F C )  e.  CC )
86 rlimcn2.2a . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
87 rlimcn2.2b . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
88 fovrn 6006 . . . 4  |-  ( ( F : ( X  X.  Y ) --> CC 
/\  R  e.  X  /\  S  e.  Y
)  ->  ( R F S )  e.  CC )
8981, 86, 87, 88syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R F S )  e.  CC )
9085, 27, 89rlim2 11986 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S )  <->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
9180, 90mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370   abscabs 11735    ~~> r crli 11975
This theorem is referenced by:  rlimadd  12132  rlimsub  12133  rlimmul  12134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-rlim 11979
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