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Theorem rlimcn2 12029
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn2.1a  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
rlimcn2.1b  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
rlimcn2.2a  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
rlimcn2.2b  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
rlimcn2.3a  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R
)
rlimcn2.3b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S
)
rlimcn2.4  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
rlimcn2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
rlimcn2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, z, A    u, r,
v, F, s, x, z    R, r, s, u, v, x, z    B, r, s, u, v, x    ph, r, s, x, z    S, r, s, u, v, x, z    C, r, s, v, x    u, X, z    u, Y, v, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    A( v, u)    B( z)    C( z, u)    X( x, v, s, r)    Y( x, s, r)

Proof of Theorem rlimcn2
StepHypRef Expression
1 rlimcn2.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
2 rlimcn2.1a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
32ralrimiva 2601 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  X )
43adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  A  B  e.  X )
5 simprl 735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR+ )
6 rlimcn2.3a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R
)
76adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R )
84, 5, 7rlimi 11952 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
) )
9 rlimcn2.1b . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
109ralrimiva 2601 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  C  e.  Y )
1110adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  A  C  e.  Y )
12 simprr 736 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  s  e.  RR+ )
13 rlimcn2.3b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S
)
1413adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S )
1511, 12, 14rlimi 11952 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )
16 reeanv 2682 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  <->  ( E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
17 r19.26 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  <->  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
18 prth 557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( (
a  <_  z  /\  b  <_  z )  -> 
( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) )
19 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  a  e.  RR )
20 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  b  e.  RR )
21 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
222, 21fmptd 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B ) : A --> X )
23 fdm 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  |->  B ) : A --> X  ->  dom  (  z  e.  A  |->  B )  =  A )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  (  z  e.  A  |->  B )  =  A )
25 rlimss 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R  ->  dom  (  z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
266, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  (  z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
2724, 26eqsstr3d 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2827ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2928sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
30 maxle 10485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  <->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
3119, 20, 29, 30syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  <->  ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z ) ) )
3231imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  <-> 
( ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z )  ->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) ) )
3318, 32syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r )  /\  (
b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) ) )
3433ralimdva 2596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) ) )
35 ifcl 3575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
3635ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
3736ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  if (
a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
382adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
399adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
4038, 39jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  Y
) )
41 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  B  ->  (
u  -  R )  =  ( B  -  R ) )
4241fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  B  ->  ( abs `  ( u  -  R ) )  =  ( abs `  ( B  -  R )
) )
4342breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  B  ->  (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  <->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
) )
4443anbi1d 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  B  ->  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  <->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( v  -  S
) )  <  s
) ) )
45 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  B  ->  (
u F v )  =  ( B F v ) )
4645oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  B  ->  (
( u F v )  -  ( R F S ) )  =  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )
4746fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  B  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( R F S ) ) )  =  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) ) )
4847breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  B  ->  (
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
4944, 48imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  B  ->  (
( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
50 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  C  ->  (
v  -  S )  =  ( C  -  S ) )
5150fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  C  ->  ( abs `  ( v  -  S ) )  =  ( abs `  ( C  -  S )
) )
5251breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  C  ->  (
( abs `  (
v  -  S ) )  <  s  <->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )
5352anbi2d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  C  ->  (
( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  <->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
54 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  C  ->  ( B F v )  =  ( B F C ) )
5554oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  C  ->  (
( B F v )  -  ( R F S ) )  =  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )
5655fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  C  ->  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )  =  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) ) )
5756breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  C  ->  (
( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
5853, 57imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  C  ->  (
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
5949, 58rcla42va 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6040, 59sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  A )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6160imim2d 50 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  A )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x
) ) )
6261an32s 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6362ralimdva 2596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6463adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
65 breq1 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( c  <_  z  <->  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z )
)
6665imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6766ralbidv 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6867rcla4ev 2859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR  /\ 
A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6937, 64, 68ee12an 1359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7069ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7170com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7234, 71syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7317, 72syl5bir 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7473rexlimdvva 2649 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7516, 74syl5bir 211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
( E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
768, 15, 75mp2and 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7776rexlimdvva 2649 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7877imp 420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
791, 78syldan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
8079ralrimiva 2601 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  (
c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
81 rlimcn2.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
8281adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
83 fovrn 5924 . . . . 5  |-  ( ( F : ( X  X.  Y ) --> CC 
/\  B  e.  X  /\  C  e.  Y
)  ->  ( B F C )  e.  CC )
8482, 2, 9, 83syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( B F C )  e.  CC )
8584ralrimiva 2601 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( B F C )  e.  CC )
86 rlimcn2.2a . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
87 rlimcn2.2b . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
88 fovrn 5924 . . . 4  |-  ( ( F : ( X  X.  Y ) --> CC 
/\  R  e.  X  /\  S  e.  Y
)  ->  ( R F S )  e.  CC )
8981, 86, 87, 88syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R F S )  e.  CC )
9085, 27, 89rlim2 11935 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S )  <->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
9180, 90mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   ifcif 3539   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    X. cxp 4659   dom cdm 4661   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005   RR+crp 10321   abscabs 11684    ~~> r crli 11924
This theorem is referenced by:  rlimadd  12081  rlimsub  12082  rlimmul  12083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-rlim 11928
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