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Theorem rlimcn2 12384
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn2.1a  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
rlimcn2.1b  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
rlimcn2.2a  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
rlimcn2.2b  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
rlimcn2.3a  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R
)
rlimcn2.3b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S
)
rlimcn2.4  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
rlimcn2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
rlimcn2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, z, A    u, r,
v, F, s, x, z    R, r, s, u, v, x, z    B, r, s, u, v, x    ph, r, s, x, z    S, r, s, u, v, x, z    C, r, s, v, x    u, X, z    u, Y, v, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    A( v, u)    B( z)    C( z, u)    X( x, v, s, r)    Y( x, s, r)

Proof of Theorem rlimcn2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcn2.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
2 rlimcn2.1a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
32ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  X )
43adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  A  B  e.  X )
5 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR+ )
6 rlimcn2.3a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R
)
76adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R )
84, 5, 7rlimi 12307 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
) )
9 rlimcn2.1b . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
109ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  C  e.  Y )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  A  C  e.  Y )
12 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  s  e.  RR+ )
13 rlimcn2.3b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S
)
1413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
z  e.  A  |->  C )  ~~> r  S )
1511, 12, 14rlimi 12307 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )
16 reeanv 2875 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  <->  ( E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
17 r19.26 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  <->  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
18 prth 555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( (
a  <_  z  /\  b  <_  z )  -> 
( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) )
19 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  a  e.  RR )
20 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  b  e.  RR )
21 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
222, 21fmptd 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B ) : A --> X )
23 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  |->  B ) : A --> X  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
25 rlimss 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  R  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
266, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
2724, 26eqsstr3d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2827ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2928sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
30 maxle 10778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  <->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
3119, 20, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  <->  ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z ) ) )
3231imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  <-> 
( ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z )  ->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) ) )
3318, 32syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r )  /\  (
b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) ) )
3433ralimdva 2784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) ) ) )
35 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
3635ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
3736ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  if (
a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
382adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  X )
399adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  Y )
4038, 39jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  Y
) )
41 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  B  ->  (
u  -  R )  =  ( B  -  R ) )
4241fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  B  ->  ( abs `  ( u  -  R ) )  =  ( abs `  ( B  -  R )
) )
4342breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  B  ->  (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  <->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
) )
4443anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  B  ->  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  <->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( v  -  S
) )  <  s
) ) )
45 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  B  ->  (
u F v )  =  ( B F v ) )
4645oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  B  ->  (
( u F v )  -  ( R F S ) )  =  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )
4746fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  B  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( R F S ) ) )  =  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) ) )
4847breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  B  ->  (
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
4944, 48imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  B  ->  (
( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
50 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  C  ->  (
v  -  S )  =  ( C  -  S ) )
5150fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  C  ->  ( abs `  ( v  -  S ) )  =  ( abs `  ( C  -  S )
) )
5251breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  C  ->  (
( abs `  (
v  -  S ) )  <  s  <->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )
5352anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  C  ->  (
( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  <->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) ) )
54 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  C  ->  ( B F v )  =  ( B F C ) )
5554oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  C  ->  (
( B F v )  -  ( R F S ) )  =  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )
5655fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  C  ->  ( abs `  ( ( B F v )  -  ( R F S ) ) )  =  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) ) )
5756breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  C  ->  (
( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
5853, 57imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  C  ->  (
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
5949, 58rspc2va 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6040, 59sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  A )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6160imim2d 50 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  A )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x
) ) )
6261an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R ) )  < 
r  /\  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6362ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6463adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
65 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( c  <_  z  <->  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z )
)
6665imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <-> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6766ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
6867rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR  /\ 
A. z  e.  A  ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  (
( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
6937, 64, 68ee12an 1372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7069ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7170com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r  /\  ( abs `  ( C  -  S ) )  <  s ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( (
( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7234, 71syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  (
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7317, 72syl5bir 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7473rexlimdvva 2837 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( A. z  e.  A  ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  R )
)  <  r )  /\  A. z  e.  A  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( C  -  S )
)  <  s )
)  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
7516, 74syl5bir 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
( E. a  e.  RR  A. z  e.  A  ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  R
) )  <  r
)  /\  E. b  e.  RR  A. z  e.  A  ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( C  -  S
) )  <  s
) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) ) )
768, 15, 75mp2and 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7776rexlimdvva 2837 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( abs `  (
u  -  R ) )  <  r  /\  ( abs `  ( v  -  S ) )  <  s )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
7877imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( abs `  ( u  -  R
) )  <  r  /\  ( abs `  (
v  -  S ) )  <  s )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
791, 78syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
8079ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  (
c  <_  z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) )
81 rlimcn2.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
8281adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  F : ( X  X.  Y ) --> CC )
8382, 2, 9fovrnd 6218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( B F C )  e.  CC )
8483ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( B F C )  e.  CC )
85 rlimcn2.2a . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
86 rlimcn2.2b . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
8781, 85, 86fovrnd 6218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R F S )  e.  CC )
8884, 27, 87rlim2 12290 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S )  <->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. z  e.  A  ( c  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( B F C )  -  ( R F S ) ) )  <  x ) ) )
8980, 88mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  ( B F C ) )  ~~> r  ( R F S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   RR+crp 10612   abscabs 12039    ~~> r crli 12279
This theorem is referenced by:  rlimadd  12436  rlimsub  12437  rlimmul  12438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-rlim 12283
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