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Theorem rlimcnp 20254
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function  S ( y )  =  R ( 1  /  y ) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
rlimcnp.0  |-  ( ph  ->  0  e.  A )
rlimcnp.b  |-  ( ph  ->  B  C_  RR+ )
rlimcnp.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
rlimcnp.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B
) )
rlimcnp.c  |-  ( x  =  0  ->  R  =  C )
rlimcnp.s  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  R  =  S )
rlimcnp.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
rlimcnp.k  |-  K  =  ( Jt  A )
Assertion
Ref Expression
rlimcnp  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 0 ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    ph, x, y   
y, R    x, S
Dummy variables  w  r  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    R( x)    S( y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem rlimcnp
StepHypRef Expression
1 rpreccl 10372 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( 1  /  r )  e.  RR+ )
21adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  r )  e.  RR+ )
3 rpreccl 10372 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR+  ->  ( 1  /  t )  e.  RR+ )
43adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  t )  e.  RR+ )
5 rpcnne0 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  RR+  ->  ( t  e.  CC  /\  t  =/=  0 ) )
65adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  e.  CC  /\  t  =/=  0 ) )
7 recrec 9452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  CC  /\  t  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  t ) )  =  t )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 1  / 
t ) )  =  t )
98eqcomd 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  =  ( 1  /  (
1  /  t ) ) )
10 oveq2 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 1  / 
t )  ->  (
1  /  r )  =  ( 1  / 
( 1  /  t
) ) )
1110eqeq2d 2295 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( 1  / 
t )  ->  (
t  =  ( 1  /  r )  <->  t  =  ( 1  /  (
1  /  t ) ) ) )
1211rspcev 2885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  t
)  e.  RR+  /\  t  =  ( 1  / 
( 1  /  t
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  t  =  ( 1  / 
r ) )
134, 9, 12syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  t  =  ( 1  /  r ) )
14 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  =  ( 1  /  r
) )  ->  t  =  ( 1  / 
r ) )
1514breq1d 4034 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  =  ( 1  /  r
) )  ->  (
t  <  y  <->  ( 1  /  r )  < 
y ) )
1615imbi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  =  ( 1  /  r
) )  ->  (
( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( 1  /  r
)  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
1716ralbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  ( 1  /  r
) )  ->  ( A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( ( 1  /  r
)  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
182, 13, 17rexxfrd 4548 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  B  ( (
1  /  r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  < 
z ) ) )
1918adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  <->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  B  ( ( 1  /  r
)  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
20 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  r  e.  RR+ )
21 rlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  RR+ )
2221sselda 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR+ )
2322adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR+ )
24 elrp 10351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  <->  ( r  e.  RR  /\  0  < 
r ) )
25 elrp 10351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )
26 ltrec1 9638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  RR  /\  0  <  r )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )  -> 
( ( 1  / 
r )  <  y  <->  ( 1  /  y )  <  r ) )
2724, 25, 26syl2anb 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  r
)  <  y  <->  ( 1  /  y )  < 
r ) )
2820, 23, 27syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1  /  r
)  <  y  <->  ( 1  /  y )  < 
r ) )
2928imbi1d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( 1  / 
r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
3029ralbidva 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  (
( 1  /  r
)  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( (
1  /  y )  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  < 
z ) ) )
3130adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( 1  / 
r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
32 rpcn 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
33 rpne0 10364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
3432, 33recrecd 9528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  =  y )
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  ( 1  /  y ) )  =  y )
36 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
3735, 36eqeltrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  ( 1  /  y ) )  e.  B )
38 rpreccl 10372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  y )  e.  RR+ )
40 rlimcnp.d . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B
) )
4140ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B ) )
4241adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  RR+  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B
) )
43 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x  e.  A  <->  ( 1  /  y )  e.  A ) )
44 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( 1  /  y
) ) )
4544eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( 1  /  x
)  e.  B  <->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  e.  B ) )
4643, 45bibi12d 314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B )  <->  ( (
1  /  y )  e.  A  <->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  e.  B ) ) )
4746rspcv 2881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  y )  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B )  ->  (
( 1  /  y
)  e.  A  <->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  e.  B ) ) )
4839, 42, 47sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1  /  y
)  e.  A  <->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  e.  B ) )
4937, 48mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  y )  e.  A )
5039rpne0d 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  y )  =/=  0 )
51 eldifsn 3750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  y )  e.  ( A  \  { 0 } )  <-> 
( ( 1  / 
y )  e.  A  /\  ( 1  /  y
)  =/=  0 ) )
5249, 50, 51sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  y )  e.  ( A  \  { 0 } ) )
53 eldifi 3299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  x  e.  A
)
5453adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  A )
55 0re 8833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
56 pnfxr 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  +oo  e.  RR*
57 icossre 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
5855, 56, 57mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
59 difss 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
\  { 0 } )  C_  A
60 rlimcnp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
6159, 60syl5ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  \  {
0 } )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
6261sselda 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6358, 62sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
64 elico2 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) ) )
6555, 56, 64mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) )
6665simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  x )
6762, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  x )
68 eldifsni 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
6968adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
7063, 67, 69ne0gt0d 8951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
0  <  x )
7163, 70elrpd 10383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR+ )
7271, 40syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B ) )
7354, 72mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  B )
74 rpcn 10357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
75 rpne0 10364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
7674, 75recrecd 9528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( 1  /  x ) )  =  x )
7771, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  x ) )  =  x )
7877eqcomd 2289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  =  ( 1  /  ( 1  /  x ) ) )
79 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( 1  /  x )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  /  x
) ) )
8079eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( 1  /  x )  ->  (
x  =  ( 1  /  y )  <->  x  =  ( 1  /  (
1  /  x ) ) ) )
8180rspcev 2885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  B  /\  x  =  ( 1  /  ( 1  /  x ) ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( 1  /  y ) )
8273, 78, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( 1  /  y ) )
83 breq1 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x  <  r  <->  ( 1  /  y )  < 
r ) )
84 rlimcnp.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  R  =  S )
8584oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( R  -  C )  =  ( S  -  C ) )
8685fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  =  ( abs `  ( S  -  C )
) )
8786breq1d 4034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z  <->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) )
8883, 87imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
8988adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  =  ( 1  /  y
) )  ->  (
( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
9052, 82, 89ralxfrd 4547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A  \  {
0 } ) ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
9190ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
)  <->  A. y  e.  B  ( ( 1  / 
y )  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
9231, 91bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( 1  / 
r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. x  e.  ( A 
\  { 0 } ) ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
93 elsni 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
9493adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  x  =  0 )
95 rlimcnp.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  R  =  C )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  R  =  C )
9796oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( R  -  C )  =  ( C  -  C ) )
98 rlimcnp.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  A )
99 rlimcnp.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
10099ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
10195eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  ( R  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
102101rspcv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
10398, 100, 102sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
104103subidd 9140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( C  -  C
)  =  0 )
105104ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( C  -  C )  =  0 )
10697, 105eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( R  -  C )  =  0 )
107106fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  =  ( abs `  0 ) )
108 abs0 11764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  0 )  =  0
109107, 108syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  =  0 )
110 rpgt0 10360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR+  ->  0  < 
z )
111110ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  0  <  z
)
112109, 111eqbrtrd 4044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
113112a1d 24 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) )
114113ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  { 0 }  (
x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  z ) )
115114adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  { 0 }  (
x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  z ) )
116115biantrud 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
)  <->  ( A. x  e.  ( A  \  {
0 } ) ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  /\  A. x  e.  {
0 }  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
z ) ) ) )
117 ralunb 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( ( A  \  { 0 } )  u.  { 0 } ) ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
z )  <->  ( A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  /\  A. x  e.  {
0 }  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
z ) ) )
118116, 117syl6bbr 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
)  <->  A. x  e.  ( ( A  \  {
0 } )  u. 
{ 0 } ) ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
) )
119 undif1 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { 0 } )  u.  {
0 } )  =  ( A  u.  {
0 } )
12098ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  e.  A )
121120snssd 3761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  { 0 }  C_  A )
122 ssequn2 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  C_  A  <->  ( A  u.  { 0 } )  =  A )
123121, 122sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A  u.  { 0 } )  =  A )
124119, 123syl5eq 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( A  \  {
0 } )  u. 
{ 0 } )  =  A )
125124raleqdv 2743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  (
( A  \  {
0 } )  u. 
{ 0 } ) ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  <->  A. x  e.  A  ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
) )
12692, 118, 1253bitrd 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( 1  / 
r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. x  e.  A  ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
) )
127126rexbidva 2561 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. r  e.  RR+  A. y  e.  B  ( (
1  /  r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  < 
z )  <->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
12819, 127bitrd 246 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  <->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
) )
129128ralbidva 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
130 nfv 1606 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r
131 nfmpt1 4110 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  R )
132 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x w
133131, 132nffv 5492 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w )
134 nfcv 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs  o.  -  )
135 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
136131, 135nffv 5492 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 )
137133, 134, 136nfov 5842 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )
138 nfcv 2420 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  <
139 nfcv 2420 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
z
140137, 138, 139nfbr 4068 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z
141130, 140nfim 1770 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )
142 nfv 1606 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )
143 oveq1 5826 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
w ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  =  ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 ) )
144143breq1d 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  <->  ( x
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r
) )
145 fveq2 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  w
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) )
146145oveq1d 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) ) )
147146breq1d 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 0 ) )  <  z ) )
148144, 147imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  ( (
x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) ) )
149141, 142, 148cbvral 2761 . . . . . . 7  |-  ( A. w  e.  A  (
( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  <  z
)  <->  A. x  e.  A  ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) )
150 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
15198adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  A )
152150, 151ovresd 5949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  =  ( x ( abs  o.  -  ) 0 ) )
15360, 58syl6ss 3192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
154 ax-resscn 8789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
155153, 154syl6ss 3192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
156155sselda 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
157155adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  C_  CC )
158157, 151sseldd 3182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  CC )
159 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
160159cnmetdval 18274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( x  -  0 ) ) )
161156, 158, 160syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
x  -  0 ) ) )
162156subid1d 9141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x  -  0 )  =  x )
163162fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( x  - 
0 ) )  =  ( abs `  x
) )
164152, 161, 1633eqtrd 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  =  ( abs `  x ) )
165153sselda 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
16660sselda 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
167166, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  x )
168165, 167absidd 11899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  x )  =  x )
169164, 168eqtrd 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  =  x )
170169breq1d 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  <->  x  <  r ) )
171 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
172171fvmpt2 5569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  R  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x )  =  R )
173150, 99, 172syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  R )
174103adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
17595, 171fvmptg 5561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 )  =  C )
176151, 174, 175syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
)  =  C )
177173, 176oveq12d 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  =  ( R ( abs  o.  -  ) C ) )
178159cnmetdval 18274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( R ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( R  -  C
) ) )
17999, 174, 178syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R ( abs  o.  -  ) C )  =  ( abs `  ( R  -  C )
) )
180177, 179eqtrd 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  =  ( abs `  ( R  -  C ) ) )
181180breq1d 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z  <->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
)
182170, 181imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
183182ralbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  A. x  e.  A  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
184149, 183syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  A. x  e.  A  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
185184rexbidv 2565 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
186185ralbidv 2564 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  <  z
)  <->  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
18799, 171fmptd 5645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
188187biantrurd 496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  <  z
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) ) ) )
189129, 186, 1883bitr2d 274 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  <  z
) ) ) )
190100adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
19184eleq1d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( R  e.  CC  <->  S  e.  CC ) )
192191rspcv 2881 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  S  e.  CC ) )
19349, 190, 192sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
194193ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  S  e.  CC )
195 rpssre 10359 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
19621, 195syl6ss 3192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
197 1re 8832 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
198197a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
199194, 196, 103, 198rlim3 11966 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
200 0xr 8873 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
201 0lt1 9291 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
202 df-ioo 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
203 df-ico 10656 . . . . . . . . . . 11  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
204 xrltletr 10483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  w )  ->  0  <  w
) )
205202, 203, 204ixxss1 10668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (
1 [,)  +oo )  C_  ( 0 (,)  +oo ) )
206200, 201, 205mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  (
0 (,)  +oo )
207 ioorp 10721 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
208206, 207sseqtri 3211 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
209 ssrexv 3239 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
210208, 209ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  ->  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <_ 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) )
211 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  t  e.  RR+ )
212195, 211sseldi 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  t  e.  RR )
213196adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  C_  RR )
214213sselda 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
215 ltle 8905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  <  y  ->  t  <_  y )
)
216212, 214, 215syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  (
t  <  y  ->  t  <_  y ) )
217216imim1d 71 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  (
( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
218217ralimdva 2622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  (
t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z )  ->  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
219218reximdva 2656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
220210, 219syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
221220ralimdv 2623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
222199, 221sylbid 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  ->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
223 ssrexv 3239 . . . . . . 7  |-  ( RR+  C_  RR  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  ->  E. t  e.  RR  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
224195, 223ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  ->  E. t  e.  RR  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) )
225224ralimi 2619 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  ->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) )
226194, 196, 103rlim2lt 11965 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
227225, 226syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C
) )
228222, 227impbid 185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
229 cnxmet 18276 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
230 xmetres2 17919 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( * Met `  A ) )
231229, 155, 230sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( * Met `  A ) )
232229a1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
233 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )
234 rlimcnp.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
235234cnfldtopn 18285 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
236233, 235metcnp2 18082 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( * Met `  A )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
J ) `  0
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) ) ) )
237231, 232, 98, 236syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  CnP  J ) `
 0 )  <->  ( (
x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) ) ) )
238189, 228, 2373bitr4d 278 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
J ) `  0
) ) )
239 rlimcnp.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  A )
240 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
241240, 235, 233metrest 18064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( Jt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
242229, 155, 241sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
243239, 242syl5eq 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
244243oveq1d 5834 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  CnP  J
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  CnP  J ) )
245244fveq1d 5487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  CnP  J ) `  0 )  =  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  CnP  J ) `
 0 ) )
246245eleq2d 2351 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  0 )  <-> 
( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
J ) `  0
) ) )
247238, 246bitr4d 249 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    \ cdif 3150    u. cun 3151    C_ wss 3153   {csn 3641   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    X. cxp 4686    |` cres 4690    o. ccom 4692   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    +oocpnf 8859   RR*cxr 8861    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032    / cdiv 9418   RR+crp 10349   (,)cioo 10650   [,)cico 10652   abscabs 11713    ~~> r crli 11953   ↾t crest 13319   TopOpenctopn 13320   * Metcxmt 16363   MetOpencmopn 16366  ℂfldccnfld 16371    CnP ccnp 16949
This theorem is referenced by:  rlimcnp2  20255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-fz 10777  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-rlim 11957  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-cnp 16952
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