MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimconst Unicode version

Theorem rlimconst 12012
Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimconst  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem rlimconst
StepHypRef Expression
1 0re 8833 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 simpllr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
32subidd 9140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  -  B )  =  0 )
43fveq2d 5489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( abs `  ( B  -  B
) )  =  ( abs `  0 ) )
5 abs0 11764 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( abs `  ( B  -  B
) )  =  0 )
7 rpgt0 10360 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
y )
87ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <  y )
96, 8eqbrtrd 4044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( abs `  ( B  -  B
) )  <  y
)
109a1d 24 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  < 
y ) )
1110ralrimiva 2627 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  A  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )
)
12 breq1 4027 . . . . . . 7  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <_  x  <->  0  <_  x ) )
1312imbi1d 310 . . . . . 6  |-  ( z  =  0  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )  <->  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) ) )
1413ralbidv 2564 . . . . 5  |-  ( z  =  0  ->  ( A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )  <->  A. x  e.  A  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) ) )
1514rspcev 2885 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) )
161, 11, 15sylancr 646 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) )
1716ralrimiva 2627 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )
)
18 simplr 733 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
1918ralrimiva 2627 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
20 simpl 445 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
21 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2219, 20, 21rlim2 11964 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  B  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )
) )
2317, 22mpbird 225 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   RR+crp 10349   abscabs 11713    ~~> r crli 11953
This theorem is referenced by:  o1const  12087  rlimneg  12114  caucvgr  12142  fsumrlim  12263  dvfsumrlimge0  19371  dvfsumrlim2  19373  logexprlim  20458  chebbnd2  20620  chto1lb  20621  chpchtlim  20622  dchrisum0lem1  20659  selberglem2  20689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-rlim 11957
  Copyright terms: Public domain W3C validator