MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcxp Unicode version

Theorem rlimcxp 20230
Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcxp.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimcxp.2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  B )  ~~> r  0 )
rlimcxp.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rlimcxp  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    C, n    ph, n
Allowed substitution hints:    B( n)    V( n)

Proof of Theorem rlimcxp
StepHypRef Expression
1 rlimcxp.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  B )  ~~> r  0 )
2 rlimf 11940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  -> 
( n  e.  A  |->  B ) : dom  (  n  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  B ) : dom  (  n  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 rlimcxp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5157 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (  n  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  (  n  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5318 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  B ) : dom  (  n  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( n  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  A  |->  B )  =  ( n  e.  A  |->  B )
1110fmpt 5615 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  A  B  e.  CC  <->  ( n  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
129, 11sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  A  B  e.  CC )
1312adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  A  B  e.  CC )
14 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
15 rlimcxp.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1615adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR+ )
1716rprecred 10368 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  C )  e.  RR )
1814, 17rpcxpcld 20039 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) )  e.  RR+ )
191adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( n  e.  A  |->  B )  ~~> r  0 )
2013, 18, 19rlimi 11952 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  A  ( y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) ) ) )
214, 1rlimmptrcl 12046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2221adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2322abscld 11883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
2422absge0d 11891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
2518adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
x  ^ c  ( 1  /  C ) )  e.  RR+ )
2625rpred 10357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
x  ^ c  ( 1  /  C ) )  e.  RR )
2725rpge0d 10361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  0  <_  ( x  ^ c 
( 1  /  C
) ) )
2815ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  C  e.  RR+ )
2923, 24, 26, 27, 28cxplt2d 20035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  <  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) )  <-> 
( ( abs `  B
)  ^ c  C
)  <  ( (
x  ^ c  ( 1  /  C ) )  ^ c  C
) ) )
3022subid1d 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  ( B  -  0 )  =  B )
3130fveq2d 5462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  - 
0 ) )  =  ( abs `  B
) )
3231breq1d 4007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
( abs `  ( B  -  0 ) )  <  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) )  <-> 
( abs `  B
)  <  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) ) ) )
3328rpred 10357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  C  e.  RR )
34 abscxp2 20002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  RR )  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  =  ( ( abs `  B )  ^ c  C ) )
3522, 33, 34syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  =  ( ( abs `  B
)  ^ c  C
) )
3628rpcnd 10359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3728rpne0d 10362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
3836, 37recid2d 9500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
( 1  /  C
)  x.  C )  =  1 )
3938oveq2d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
x  ^ c  ( ( 1  /  C
)  x.  C ) )  =  ( x  ^ c  1 ) )
40 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  x  e.  RR+ )
4117adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
1  /  C )  e.  RR )
4240, 41, 36cxpmuld 20043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
x  ^ c  ( ( 1  /  C
)  x.  C ) )  =  ( ( x  ^ c  ( 1  /  C ) )  ^ c  C
) )
4340rpcnd 10359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  x  e.  CC )
4443cxp1d 20015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
x  ^ c  1 )  =  x )
4539, 42, 443eqtr3rd 2299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  x  =  ( ( x  ^ c  ( 1  /  C ) )  ^ c  C ) )
4635, 45breq12d 4010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
( abs `  ( B  ^ c  C ) )  <  x  <->  ( ( abs `  B )  ^ c  C )  <  (
( x  ^ c 
( 1  /  C
) )  ^ c  C ) ) )
4729, 32, 463bitr4d 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
( abs `  ( B  -  0 ) )  <  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) )  <-> 
( abs `  ( B  ^ c  C ) )  <  x ) )
4847biimpd 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
( abs `  ( B  -  0 ) )  <  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) )  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  <  x ) )
4948imim2d 50 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  A )  ->  (
( y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) ) )  ->  ( y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  < 
x ) ) )
5049ralimdva 2596 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. n  e.  A  (
y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  ( x  ^ c  ( 1  /  C ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  <  x ) ) )
5150reximdv 2629 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR  A. n  e.  A  ( y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  (
x  ^ c  ( 1  /  C ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  A  ( y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  <  x ) ) )
5220, 51mpd 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  A  ( y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  <  x ) )
5352ralrimiva 2601 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. n  e.  A  (
y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  <  x ) )
5415rpcnd 10359 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5554adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5621, 55cxpcld 20017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( B  ^ c  C )  e.  CC )
5756ralrimiva 2601 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  A  ( B  ^ c  C )  e.  CC )
58 rlimss 11941 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  ->  dom  (  n  e.  A  |->  B )  C_  RR )
591, 58syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  (  n  e.  A  |->  B )  C_  RR )
607, 59eqsstr3d 3188 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6157, 60rlim0 11947 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. n  e.  A  ( y  <_  n  ->  ( abs `  ( B  ^ c  C ) )  <  x ) ) )
6253, 61mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   dom cdm 4661   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    x. cmul 8710    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005    / cdiv 9391   RR+crp 10321   abscabs 11684    ~~> r crli 11924    ^ c ccxp 19875
This theorem is referenced by:  cxp2lim  20233  cxploglim2  20235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-fac 11255  df-bc 11282  df-hash 11304  df-shft 11527  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-ef 12311  df-sin 12313  df-cos 12314  df-pi 12316  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-limc 19178  df-dv 19179  df-log 19876  df-cxp 19877
  Copyright terms: Public domain W3C validator