Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdiv Structured version   Unicode version

Theorem rlimdiv 12439
 Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdiv.7
rlimdiv.8
Assertion
Ref Expression
rlimdiv
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4
2 rlimadd.5 . . . 4
31, 2rlimmptrcl 12401 . . 3
4 rlimadd.4 . . . . 5
5 rlimadd.6 . . . . 5
64, 5rlimmptrcl 12401 . . . 4
7 rlimdiv.8 . . . 4
86, 7reccld 9783 . . 3
9 eldifsn 3927 . . . . . . 7
106, 7, 9sylanbrc 646 . . . . . 6
11 eqid 2436 . . . . . 6
1210, 11fmptd 5893 . . . . 5
13 rlimcl 12297 . . . . . . 7
145, 13syl 16 . . . . . 6
15 rlimdiv.7 . . . . . 6
16 eldifsn 3927 . . . . . 6
1714, 15, 16sylanbrc 646 . . . . 5
18 eldifsn 3927 . . . . . . . 8
19 reccl 9685 . . . . . . . 8
2018, 19sylbi 188 . . . . . . 7
2120adantl 453 . . . . . 6
22 eqid 2436 . . . . . 6
2321, 22fmptd 5893 . . . . 5
24 eqid 2436 . . . . . . . 8
2524reccn2 12390 . . . . . . 7
2617, 25sylan 458 . . . . . 6
27 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14
28 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 22, 28fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . 13
30 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15
3230, 22, 31fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . 14
3317, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3429, 33oveqan12rd 6101 . . . . . . . . . . . 12
3534fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
3635breq1d 4222 . . . . . . . . . 10
3736imbi2d 308 . . . . . . . . 9
3837ralbidva 2721 . . . . . . . 8
3938rexbidv 2726 . . . . . . 7
4039biimpar 472 . . . . . 6
4126, 40syldan 457 . . . . 5
4212, 17, 5, 23, 41rlimcn1 12382 . . . 4
43 eqidd 2437 . . . . 5
44 eqidd 2437 . . . . 5
45 oveq2 6089 . . . . 5
4610, 43, 44, 45fmptco 5901 . . . 4
4742, 46, 333brtr3d 4241 . . 3
483, 8, 2, 47rlimmul 12438 . 2
493, 6, 7divrecd 9793 . . 3
5049mpteq2dva 4295 . 2
51 rlimcl 12297 . . . 4
522, 51syl 16 . . 3
5352, 14, 15divrecd 9793 . 2
5448, 50, 533brtr4d 4242 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706   cdif 3317  cif 3739  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266   ccom 4882  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291   cdiv 9677  c2 10049  crp 10612  cabs 12039   crli 12279 This theorem is referenced by:  logexprlim  21009  chebbnd2  21171  chto1lb  21172  pnt2  21307  pnt  21308 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-rlim 12283
 Copyright terms: Public domain W3C validator