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Theorem rlimdiv 12439
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
rlimadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimadd.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
rlimdiv.7  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
rlimdiv.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rlimdiv  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  ~~> r  ( D  /  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x    x, E
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables  w  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
31, 2rlimmptrcl 12401 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
5 rlimadd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
64, 5rlimmptrcl 12401 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7 rlimdiv.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
86, 7reccld 9783 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  /  C )  e.  CC )
9 eldifsn 3927 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
106, 7, 9sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
11 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
1210, 11fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> ( CC  \  { 0 } ) )
13 rlimcl 12297 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  ->  E  e.  CC )
145, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
15 rlimdiv.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
16 eldifsn 3927 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
1714, 15, 16sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
18 eldifsn 3927 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
19 reccl 9685 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
2018, 19sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
y )  e.  CC )
2120adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
22 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) )
2321, 22fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
24 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  E
)  x.  z ) ,  1 ,  ( ( abs `  E
)  x.  z ) )  x.  ( ( abs `  E )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  E )  x.  z ) ,  1 ,  ( ( abs `  E )  x.  z
) )  x.  (
( abs `  E
)  /  2 ) )
2524reccn2 12390 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
2617, 25sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
27 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
v ) )
28 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  v )  e. 
_V
2927, 22, 28fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  v
)  =  ( 1  /  v ) )
30 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  E  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  /  E ) )
31 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  E )  e. 
_V
3230, 22, 31fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
)  =  ( 1  /  E ) )
3317, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  E )  =  ( 1  /  E ) )
3429, 33oveqan12rd 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  v
)  -  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  E ) )  =  ( ( 1  / 
v )  -  (
1  /  E ) ) )
3534fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) ) )
3635breq1d 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
3736imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( abs `  ( v  -  E
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  E ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
v )  -  (
1  /  E ) ) )  <  z
) ) )
3837ralbidva 2721 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z )  <->  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) ) )
3938rexbidv 2726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( v  -  E ) )  <  w  ->  ( abs `  ( ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  v )  -  (
( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `
 E ) ) )  <  z )  <->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) ) )
4039biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z ) )
4126, 40syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z ) )
4212, 17, 5, 23, 41rlimcn1 12382 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  o.  ( x  e.  A  |->  C ) )  ~~> r  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  E ) )
43 eqidd 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
44 eqidd 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )
45 oveq2 6089 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  /  C ) )
4610, 43, 44, 45fmptco 5901 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  o.  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  C ) ) )
4742, 46, 333brtr3d 4241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  C
) )  ~~> r  ( 1  /  E ) )
483, 8, 2, 47rlimmul 12438 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )  ~~> r  ( D  x.  ( 1  /  E ) ) )
493, 6, 7divrecd 9793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
5049mpteq2dva 4295 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) ) )
51 rlimcl 12297 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
522, 51syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352, 14, 15divrecd 9793 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  /  E
)  =  ( D  x.  ( 1  /  E ) ) )
5448, 50, 533brtr4d 4242 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  ~~> r  ( D  /  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317   ifcif 3739   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    o. ccom 4882   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   abscabs 12039    ~~> r crli 12279
This theorem is referenced by:  logexprlim  21009  chebbnd2  21171  chto1lb  21172  pnt2  21307  pnt  21308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-rlim 12283
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