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Theorem rlimdiv 12121
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
rlimadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimadd.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
rlimdiv.7  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
rlimdiv.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rlimdiv  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  ~~> r  ( D  /  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x    x, E
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables  w  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
31, 2rlimmptrcl 12083 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
5 rlimadd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
64, 5rlimmptrcl 12083 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7 rlimdiv.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
86, 7reccld 9531 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  /  C )  e.  CC )
9 eldifsn 3751 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
106, 7, 9sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
11 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
1210, 11fmptd 5686 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> ( CC  \  { 0 } ) )
13 rlimcl 11979 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  ->  E  e.  CC )
145, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
15 rlimdiv.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
16 eldifsn 3751 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
1714, 15, 16sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
18 eldifsn 3751 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
19 reccl 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
2018, 19sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
y )  e.  CC )
2120adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
22 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) )
2321, 22fmptd 5686 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
24 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  E
)  x.  z ) ,  1 ,  ( ( abs `  E
)  x.  z ) )  x.  ( ( abs `  E )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  E )  x.  z ) ,  1 ,  ( ( abs `  E )  x.  z
) )  x.  (
( abs `  E
)  /  2 ) )
2524reccn2 12072 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
2617, 25sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
27 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
v ) )
28 ovex 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  v )  e. 
_V
2927, 22, 28fvmpt 5604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  v
)  =  ( 1  /  v ) )
30 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  E  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  /  E ) )
31 ovex 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  E )  e. 
_V
3230, 22, 31fvmpt 5604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
)  =  ( 1  /  E ) )
3317, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  E )  =  ( 1  /  E ) )
3429, 33oveqan12rd 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  v
)  -  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  E ) )  =  ( ( 1  / 
v )  -  (
1  /  E ) ) )
3534fveq2d 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) ) )
3635breq1d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
3736imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( abs `  ( v  -  E
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  E ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
v )  -  (
1  /  E ) ) )  <  z
) ) )
3837ralbidva 2561 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z )  <->  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) ) )
3938rexbidv 2566 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( v  -  E ) )  <  w  ->  ( abs `  ( ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  v )  -  (
( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `
 E ) ) )  <  z )  <->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) ) )
4039biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z ) )
4126, 40syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z ) )
4212, 17, 5, 23, 41rlimcn1 12064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  o.  ( x  e.  A  |->  C ) )  ~~> r  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  E ) )
43 eqidd 2286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
44 eqidd 2286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )
45 oveq2 5868 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  /  C ) )
4610, 43, 44, 45fmptco 5693 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  o.  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  C ) ) )
4742, 46, 333brtr3d 4054 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  C
) )  ~~> r  ( 1  /  E ) )
483, 8, 2, 47rlimmul 12120 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )  ~~> r  ( D  x.  ( 1  /  E ) ) )
493, 6, 7divrecd 9541 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
5049mpteq2dva 4108 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) ) )
51 rlimcl 11979 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
522, 51syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352, 14, 15divrecd 9541 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  /  E
)  =  ( D  x.  ( 1  /  E ) ) )
5448, 50, 533brtr4d 4055 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  ~~> r  ( D  /  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546    \ cdif 3151   ifcif 3567   {csn 3642   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    o. ccom 4695   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739   1c1 8740    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039    / cdiv 9425   2c2 9797   RR+crp 10356   abscabs 11721    ~~> r crli 11961
This theorem is referenced by:  logexprlim  20466  chebbnd2  20628  chto1lb  20629  pnt2  20764  pnt  20765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-rlim 11965
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