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Theorem rlimdiv 12085
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
rlimadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimadd.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
rlimdiv.7  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
rlimdiv.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rlimdiv  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  ~~> r  ( D  /  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x    x, E
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem rlimdiv
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
31, 2rlimmptrcl 12047 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
5 rlimadd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
64, 5rlimmptrcl 12047 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7 rlimdiv.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
86, 7reccld 9497 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  /  C )  e.  CC )
9 eldifsn 3723 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
106, 7, 9sylanbrc 648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
11 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
1210, 11fmptd 5618 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> ( CC  \  { 0 } ) )
13 rlimcl 11943 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  ->  E  e.  CC )
145, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
15 rlimdiv.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
16 eldifsn 3723 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
1714, 15, 16sylanbrc 648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
18 eldifsn 3723 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
19 reccl 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
2018, 19sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
y )  e.  CC )
2120adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
22 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) )
2321, 22fmptd 5618 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
24 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  E
)  x.  z ) ,  1 ,  ( ( abs `  E
)  x.  z ) )  x.  ( ( abs `  E )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  E )  x.  z ) ,  1 ,  ( ( abs `  E )  x.  z
) )  x.  (
( abs `  E
)  /  2 ) )
2524reccn2 12036 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
2617, 25sylan 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
27 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
v ) )
28 ovex 5817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  v )  e. 
_V
2927, 22, 28fvmpt 5536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  v
)  =  ( 1  /  v ) )
30 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  E  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  /  E ) )
31 ovex 5817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  E )  e. 
_V
3230, 22, 31fvmpt 5536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
)  =  ( 1  /  E ) )
3317, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  E )  =  ( 1  /  E ) )
3429, 33oveqan12rd 5812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  v
)  -  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  E ) )  =  ( ( 1  / 
v )  -  (
1  /  E ) ) )
3534fveq2d 5462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) ) )
3635breq1d 4007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
3736imbi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( abs `  ( v  -  E
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  E ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
v )  -  (
1  /  E ) ) )  <  z
) ) )
3837ralbidva 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z )  <->  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) ) )
3938rexbidv 2539 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( v  -  E ) )  <  w  ->  ( abs `  ( ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  v )  -  (
( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `
 E ) ) )  <  z )  <->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) ) )
4039biimpar 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z ) )
4126, 40syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z ) )
4212, 17, 5, 23, 41rlimcn1 12028 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  o.  ( x  e.  A  |->  C ) )  ~~> r  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  E ) )
43 eqidd 2259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
44 eqidd 2259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )
45 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  /  C ) )
4610, 43, 44, 45fmptco 5625 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  o.  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  C ) ) )
4742, 46, 333brtr3d 4026 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  C
) )  ~~> r  ( 1  /  E ) )
483, 8, 2, 47rlimmul 12084 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )  ~~> r  ( D  x.  ( 1  /  E ) ) )
493, 6, 7divrecd 9507 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
5049mpteq2dva 4080 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) ) )
51 rlimcl 11943 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
522, 51syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352, 14, 15divrecd 9507 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  /  E
)  =  ( D  x.  ( 1  /  E ) ) )
5448, 50, 533brtr4d 4027 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  ~~> r  ( D  /  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519    \ cdif 3124   ifcif 3539   {csn 3614   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    o. ccom 4665   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705   1c1 8706    x. cmul 8710    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005    / cdiv 9391   2c2 9763   RR+crp 10322   abscabs 11685    ~~> r crli 11925
This theorem is referenced by:  logexprlim  20427  chebbnd2  20589  chto1lb  20590  pnt2  20725  pnt  20726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-rp 10323  df-seq 11014  df-exp 11072  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-rlim 11929
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