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Theorem rlimdiv 12049
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
rlimadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimadd.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
rlimdiv.7  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
rlimdiv.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rlimdiv  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  ~~> r  ( D  /  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x    x, E
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem rlimdiv
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
31, 2rlimmptrcl 12011 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
5 rlimadd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
64, 5rlimmptrcl 12011 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7 rlimdiv.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
86, 7reccld 9462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  /  C )  e.  CC )
9 eldifsn 3690 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
106, 7, 9sylanbrc 648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
11 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
1210, 11fmptd 5583 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> ( CC  \  { 0 } ) )
13 rlimcl 11907 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  ->  E  e.  CC )
145, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
15 rlimdiv.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
16 eldifsn 3690 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
1714, 15, 16sylanbrc 648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
18 eldifsn 3690 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
19 reccl 9364 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
2018, 19sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
y )  e.  CC )
2120adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
22 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) )
2321, 22fmptd 5583 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
24 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  E
)  x.  z ) ,  1 ,  ( ( abs `  E
)  x.  z ) )  x.  ( ( abs `  E )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  E )  x.  z ) ,  1 ,  ( ( abs `  E )  x.  z
) )  x.  (
( abs `  E
)  /  2 ) )
2524reccn2 12000 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
2617, 25sylan 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
27 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
v ) )
28 ovex 5782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  v )  e. 
_V
2927, 22, 28fvmpt 5501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  v
)  =  ( 1  /  v ) )
30 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  E  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  /  E ) )
31 ovex 5782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  E )  e. 
_V
3230, 22, 31fvmpt 5501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
)  =  ( 1  /  E ) )
3317, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  E )  =  ( 1  /  E ) )
3429, 33oveqan12rd 5777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  v
)  -  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  E ) )  =  ( ( 1  / 
v )  -  (
1  /  E ) ) )
3534fveq2d 5427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) ) )
3635breq1d 3973 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )
3736imbi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( abs `  ( v  -  E
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  E ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
v )  -  (
1  /  E ) ) )  <  z
) ) )
3837ralbidva 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z )  <->  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) ) )
3938rexbidv 2535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( v  -  E ) )  <  w  ->  ( abs `  ( ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  v )  -  (
( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `
 E ) ) )  <  z )  <->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) ) )
4039biimpar 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( 1  /  v
)  -  ( 1  /  E ) ) )  <  z ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z ) )
4126, 40syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
v  -  E ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) `  v )  -  ( ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  y
) ) `  E
) ) )  < 
z ) )
4212, 17, 5, 23, 41rlimcn1 11992 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  o.  ( x  e.  A  |->  C ) )  ~~> r  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) ) `  E ) )
43 eqidd 2257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
44 eqidd 2257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )
45 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  /  C ) )
4610, 43, 44, 45fmptco 5590 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) )  o.  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  C ) ) )
4742, 46, 333brtr3d 3992 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  C
) )  ~~> r  ( 1  /  E ) )
483, 8, 2, 47rlimmul 12048 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )  ~~> r  ( D  x.  ( 1  /  E ) ) )
493, 6, 7divrecd 9472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
5049mpteq2dva 4046 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) ) )
51 rlimcl 11907 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
522, 51syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352, 14, 15divrecd 9472 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  /  E
)  =  ( D  x.  ( 1  /  E ) ) )
5448, 50, 533brtr4d 3993 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  ~~> r  ( D  /  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517    \ cdif 3091   ifcif 3506   {csn 3581   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017    o. ccom 4630   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   0cc0 8670   1c1 8671    x. cmul 8675    < clt 8800    <_ cle 8801    - cmin 8970    / cdiv 9356   2c2 9728   RR+crp 10286   abscabs 11649    ~~> r crli 11889
This theorem is referenced by:  logexprlim  20391  chebbnd2  20553  chto1lb  20554  pnt2  20689  pnt  20690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-rlim 11893
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