MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimre Unicode version

Theorem rlimre 12079
Description: Limit of the real part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimabs.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimabs.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
Assertion
Ref Expression
rlimre  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  ~~> r  ( Re `  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem rlimre
StepHypRef Expression
1 rlimabs.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimabs.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
31, 2rlimmptrcl 12076 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimcl 11972 . . 3  |-  ( ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
52, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 ref 11592 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
7 ax-resscn 8790 . . . 4  |-  RR  C_  CC
8 fss 5363 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  Re : CC --> CC )
96, 7, 8mp2an 655 . . 3  |-  Re : CC
--> CC
109a1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  Re : CC --> CC )
11 recn2 12069 . . 3  |-  ( ( C  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Re `  z
)  -  ( Re
`  C ) ) )  <  x ) )
125, 11sylan 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Re `  z
)  -  ( Re
`  C ) ) )  <  x ) )
133, 5, 2, 10, 12rlimcn1b 12058 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  ~~> r  ( Re `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1685   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   -->wf 5218   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732    < clt 8863    - cmin 9033   RR+crp 10350   Recre 11577   abscabs 11714    ~~> r crli 11954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-rlim 11958
  Copyright terms: Public domain W3C validator