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Theorem rlimresb 12004
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimresb  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  ~~> r  C
) )

Proof of Theorem rlimresb
StepHypRef Expression
1 rlimcl 11942 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
21a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC ) )
3 rlimcl 11942 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
43a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
)
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  A  C_  RR )
7 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  A
)
86, 7sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
109adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
11 elicopnf 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  RR  ->  (
z  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) ) )
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_  z ) ) )
1312biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1413adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1514simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
1614simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  z
)
17 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  <_  x
)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  x
)
19 elicopnf 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x )
) )
218, 18, 20mpbir2and 893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
2221anassrs 632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
2322anassrs 632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
24 biimt 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  -  C
) )  <  y  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) ) )
2625pm5.74da 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
27 bi2.04 352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2826, 27syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
2928pm5.74da 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) ) )
30 elin 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
3130imbi1i 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
32 impexp 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3331, 32bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3429, 33syl6bbr 256 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3534ralbidv2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3635rexbidva 2535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3736ralbidv 2538 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3837adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
40 ffvelrn 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
4139, 40sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4241ralrimiva 2601 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
4342adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
445adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
45 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
469adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  RR )
4743, 44, 45, 46rlim3 11937 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
48 inss1 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
4948sseli 3151 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
5049, 41sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5150ralrimiva 2601 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( F `  x )  e.  CC )
5251adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( F `  x )  e.  CC )
5348, 5syl5ss 3165 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
5453adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
5552, 54, 45, 46rlim3 11937 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
5638, 47, 553bitr4d 278 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
5756ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) ) )
582, 4, 57pm5.21ndd 345 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) )
5939feqmptd 5509 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
6059breq1d 4007 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
61 resres 4956 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )
62 ffn 5327 . . . . . 6  |-  ( F : A --> CC  ->  F  Fn  A )
63 fnresdm 5291 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6439, 62, 633syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6564reseq1d 4942 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) ) )
6659reseq1d 4942 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ) )
67 resmpt 4988 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
6848, 67ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
6966, 68syl6eq 2306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
7061, 65, 693eqtr3a 2314 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
7170breq1d 4007 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
7258, 60, 713bitr4d 278 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  ~~> r  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519    i^i cin 3126    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    |` cres 4663    Fn wfn 4668   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704    +oocpnf 8832    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005   RR+crp 10321   [,)cico 10624   abscabs 11684    ~~> r crli 11924
This theorem is referenced by:  rlimeq  12008  rlimcnp2  20223  cxp2lim  20233  pnt2  20724  pnt  20725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780
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