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Theorem rlimresb 12286
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimresb  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  ~~> r  C
) )

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 12224 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC ) )
3 rlimcl 12224 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
)
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  A  C_  RR )
7 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  A
)
86, 7sseldd 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
11 elicopnf 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  RR  ->  (
z  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) ) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_  z ) ) )
1312biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1413adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1514simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
1614simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  z
)
17 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  <_  x
)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  x
)
19 elicopnf 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x )
) )
218, 18, 20mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
2221anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
2322anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
24 biimt 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  -  C
) )  <  y  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) ) )
2625pm5.74da 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
27 bi2.04 351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2826, 27syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
2928pm5.74da 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) ) )
30 elin 3473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
3130imbi1i 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
32 impexp 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3331, 32bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3429, 33syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3534ralbidv2 2671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3635rexbidva 2666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3736ralbidv 2669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3837adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4039ffvelrnda 5809 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4140ralrimiva 2732 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
4241adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
435adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
44 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
459adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  RR )
4642, 43, 44, 45rlim3 12219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
47 inss1 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
4847sseli 3287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
4948, 40sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5049ralrimiva 2732 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( F `  x )  e.  CC )
5150adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( F `  x )  e.  CC )
5247, 5syl5ss 3302 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
5352adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
5451, 53, 44, 45rlim3 12219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
5538, 46, 543bitr4d 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
5655ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) ) )
572, 4, 56pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) )
5839feqmptd 5718 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
5958breq1d 4163 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
60 resres 5099 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )
61 ffn 5531 . . . . . 6  |-  ( F : A --> CC  ->  F  Fn  A )
62 fnresdm 5494 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6339, 61, 623syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6463reseq1d 5085 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) ) )
6558reseq1d 5085 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ) )
66 resmpt 5131 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
6747, 66ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
6865, 67syl6eq 2435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
6960, 64, 683eqtr3a 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
7069breq1d 4163 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
7157, 59, 703bitr4d 277 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  ~~> r  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    i^i cin 3262    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    |` cres 4820    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922    +oocpnf 9050    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   RR+crp 10544   [,)cico 10850   abscabs 11966    ~~> r crli 12206
This theorem is referenced by:  rlimeq  12290  rlimcnp2  20672  cxp2lim  20682  pnt2  21174  pnt  21175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-ico 10854  df-rlim 12210
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