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Theorem rlimresb 12359
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimresb  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  ~~> r  C
) )

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 12297 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC ) )
3 rlimcl 12297 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
)
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  A  C_  RR )
7 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  A
)
86, 7sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
11 elicopnf 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  RR  ->  (
z  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) ) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_  z ) ) )
1312biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1413adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1514simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
1614simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  z
)
17 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  <_  x
)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  x
)
19 elicopnf 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x )
) )
218, 18, 20mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
2221anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
2322anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
24 biimt 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  -  C
) )  <  y  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) ) )
2625pm5.74da 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
27 bi2.04 351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2826, 27syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
2928pm5.74da 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) ) )
30 elin 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
3130imbi1i 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
32 impexp 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3331, 32bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3429, 33syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3534ralbidv2 2727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3635rexbidva 2722 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3736ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3837adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4039ffvelrnda 5870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4140ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
4241adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
435adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
44 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
459adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  RR )
4642, 43, 44, 45rlim3 12292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
47 inss1 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
4847sseli 3344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
4948, 40sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5049ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( F `  x )  e.  CC )
5150adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( F `  x )  e.  CC )
5247, 5syl5ss 3359 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
5352adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
5451, 53, 44, 45rlim3 12292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
5538, 46, 543bitr4d 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
5655ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) ) )
572, 4, 56pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) )
5839feqmptd 5779 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
5958breq1d 4222 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
60 resres 5159 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )
61 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( F : A --> CC  ->  F  Fn  A )
62 fnresdm 5554 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6339, 61, 623syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6463reseq1d 5145 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) ) )
6558reseq1d 5145 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ) )
66 resmpt 5191 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
6747, 66ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
6865, 67syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
6960, 64, 683eqtr3a 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
7069breq1d 4222 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
7157, 59, 703bitr4d 277 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  ~~> r  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    +oocpnf 9117    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   RR+crp 10612   [,)cico 10918   abscabs 12039    ~~> r crli 12279
This theorem is referenced by:  rlimeq  12363  rlimcnp2  20805  cxp2lim  20815  pnt2  21307  pnt  21308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ico 10922  df-rlim 12283
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