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Theorem rlimresb 12055
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimresb  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  ~~> r  C
) )

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 11993 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
21a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC ) )
3 rlimcl 11993 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
43a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
)
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  A  C_  RR )
7 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  A
)
86, 7sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
11 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  RR  ->  (
z  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) ) )
129, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_  z ) ) )
1312biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1413adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1514simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
1614simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  z
)
17 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  <_  x
)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  x
)
19 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2010, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x )
) )
218, 18, 20mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,)  +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
2221anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
2322anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  x  e.  ( B [,)  +oo )
)
24 biimt 325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  -  C
) )  <  y  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) ) )
2625pm5.74da 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
27 bi2.04 350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2826, 27syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
2928pm5.74da 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) ) )
30 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
3130imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
32 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3331, 32bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3429, 33syl6bbr 254 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3534ralbidv2 2578 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,)  +oo )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3635rexbidva 2573 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3736ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
3837adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
40 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
4139, 40sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4241ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
4342adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
445adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
45 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
469adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  RR )
4743, 44, 45, 46rlim3 11988 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
48 inss1 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
4948sseli 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
5049, 41sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5150ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( F `  x )  e.  CC )
5251adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( F `  x )  e.  CC )
5348, 5syl5ss 3203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
5453adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
5552, 54, 45, 46rlim3 11988 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,)  +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
5638, 47, 553bitr4d 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
5756ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) ) )
582, 4, 57pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) )
5939feqmptd 5591 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
6059breq1d 4049 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
61 resres 4984 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )
62 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( F : A --> CC  ->  F  Fn  A )
63 fnresdm 5369 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6439, 62, 633syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6564reseq1d 4970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) ) )
6659reseq1d 4970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ) )
67 resmpt 5016 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
6848, 67ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
6966, 68syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
7061, 65, 693eqtr3a 2352 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
7170breq1d 4049 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
7258, 60, 713bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  ~~> r  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370   [,)cico 10674   abscabs 11735    ~~> r crli 11975
This theorem is referenced by:  rlimeq  12059  rlimcnp2  20277  cxp2lim  20287  pnt2  20778  pnt  20779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-rlim 11979
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