Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimuni Unicode version

Theorem rlimuni 12040
 Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1
rlimuni.2
rlimuni.3
rlimuni.4
Assertion
Ref Expression
rlimuni

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12
2 rlimcl 11993 . . . . . . . . . . . 12
31, 2syl 15 . . . . . . . . . . 11
43ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12
6 rlimcl 11993 . . . . . . . . . . . 12
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
94, 8subcld 9173 . . . . . . . . 9
109abscld 11934 . . . . . . . 8
1110ltnrd 8969 . . . . . . 7
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1412, 13sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14
1615, 4abssubd 11951 . . . . . . . . . . . . 13
1716breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12
1817anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11
19 abs3lem 11838 . . . . . . . . . . . 12
204, 8, 15, 10, 19syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11
2118, 20sylbid 206 . . . . . . . . . 10
2221imim2d 48 . . . . . . . . 9
2322com23 72 . . . . . . . 8
2423imp3a 420 . . . . . . 7
2511, 24mtod 168 . . . . . 6
2625nrexdv 2659 . . . . 5
27 r19.29r 2697 . . . . 5
2826, 27nsyl 113 . . . 4
2928nrexdv 2659 . . 3
30 rlimuni.2 . . . . 5
31 fdm 5409 . . . . . . . . 9
3212, 31syl 15 . . . . . . . 8
33 rlimss 11992 . . . . . . . . 9
341, 33syl 15 . . . . . . . 8
3532, 34eqsstr3d 3226 . . . . . . 7
36 ressxr 8892 . . . . . . 7
3735, 36syl6ss 3204 . . . . . 6
38 supxrunb1 10654 . . . . . 6
3937, 38syl 15 . . . . 5
4030, 39mpbird 223 . . . 4
41 r19.29 2696 . . . . 5
4241ex 423 . . . 4
4340, 42syl 15 . . 3
4429, 43mtod 168 . 2
4512adantr 451 . . . . . . 7
4613ralrimiva 2639 . . . . . . 7
4745, 46syl 15 . . . . . 6
483adantr 451 . . . . . . . . 9
497adantr 451 . . . . . . . . 9
5048, 49subcld 9173 . . . . . . . 8
51 simpr 447 . . . . . . . . 9
52 subeq0 9089 . . . . . . . . . . 11
5348, 49, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
5453necon3bid 2494 . . . . . . . . 9
5551, 54mpbird 223 . . . . . . . 8
5650, 55absrpcld 11946 . . . . . . 7
5756rphalfcld 10418 . . . . . 6
5845feqmptd 5591 . . . . . . 7
591adantr 451 . . . . . . 7
6058, 59eqbrtrrd 4061 . . . . . 6
6147, 57, 60rlimi 12003 . . . . 5
625adantr 451 . . . . . . 7
6358, 62eqbrtrrd 4061 . . . . . 6
6447, 57, 63rlimi 12003 . . . . 5
6535adantr 451 . . . . . 6
66 rexanre 11846 . . . . . 6
6765, 66syl 15 . . . . 5
6861, 64, 67mpbir2and 888 . . . 4
6968ex 423 . . 3
7069necon1bd 2527 . 2
7144, 70mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   wss 3165   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  c2 9811  cabs 11735   crli 11975 This theorem is referenced by:  rlimdm  12041  rlimdmafv  28145 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rlim 11979
 Copyright terms: Public domain W3C validator