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Theorem rlimuni 12344
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimuni.2  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimuni.3  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
rlimuni.4  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
Assertion
Ref Expression
rlimuni  |-  ( ph  ->  B  =  C )

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
2 rlimcl 12297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  B  ->  B  e.  CC )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
43ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
6 rlimcl 12297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
87ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
94, 8subcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
109abscld 12238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
1110ltnrd 9207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  ( abs `  ( B  -  C )
) )
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
1312ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1413adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1514, 4abssubd 12255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  =  ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) ) )
1615breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( B  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
1716anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
18 abs3lem 12142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
2017, 19sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
( abs `  ( B  -  C )
) ) )
2120imim2d 50 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2221com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
j  <_  k  ->  ( ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2322imp3a 421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )
2411, 23mtod 170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2524nrexdv 2809 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  E. k  e.  A  (
j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
26 r19.29r 2847 . . . . 5  |-  ( ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  E. k  e.  A  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2725, 26nsyl 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2827nrexdv 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
29 rlimuni.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
30 fdm 5595 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3112, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
32 rlimss 12296 . . . . . . . . 9  |-  ( F  ~~> r  B  ->  dom  F 
C_  RR )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
3431, 33eqsstr3d 3383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
35 ressxr 9129 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
3634, 35syl6ss 3360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
37 supxrunb1 10898 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3929, 38mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k )
40 r19.29 2846 . . . . 5  |-  ( ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
4140ex 424 . . . 4  |-  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4239, 41syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4328, 42mtod 170 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
4412adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F : A
--> CC )
45 ffvelrn 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
4645ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
4744, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
483adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  CC )
497adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  CC )
5048, 49subcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
51 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  C )
5248, 49, 51subne0d 9420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  =/=  0
)
5350, 52absrpcld 12250 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR+ )
5453rphalfcld 10660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
5544feqmptd 5779 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
561adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  B
)
5755, 56eqbrtrrd 4234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  B )
5847, 54, 57rlimi 12307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
595adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  C
)
6055, 59eqbrtrrd 4234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  C )
6147, 54, 60rlimi 12307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
6234adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A  C_  RR )
63 rexanre 12150 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6558, 61, 64mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
6665ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  C  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
6766necon1bd 2672 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  B  =  C ) )
6843, 67mpd 15 1  |-  ( ph  ->  B  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   2c2 10049   abscabs 12039    ~~> r crli 12279
This theorem is referenced by:  rlimdm  12345  rlimdmafv  28017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-rlim 12283
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