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Theorem rlimuni 12020
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimuni.2  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimuni.3  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
rlimuni.4  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
Assertion
Ref Expression
rlimuni  |-  ( ph  ->  B  =  C )
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem rlimuni
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
2 rlimcl 11973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  B  ->  B  e.  CC )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
43ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
6 rlimcl 11973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
87ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
94, 8subcld 9154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
109abscld 11914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
1110ltnrd 8950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  ( abs `  ( B  -  C )
) )
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
13 ffvelrn 5626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> CC  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
1412, 13sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1514adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1615, 4abssubd 11931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  =  ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) ) )
1716breq1d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( B  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
1817anbi1d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
19 abs3lem 11818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
204, 8, 15, 10, 19syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
2118, 20sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
( abs `  ( B  -  C )
) ) )
2221imim2d 50 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2322com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
j  <_  k  ->  ( ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2423imp3a 422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )
2511, 24mtod 170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2625nrexdv 2649 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  E. k  e.  A  (
j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
27 r19.29r 2687 . . . . 5  |-  ( ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  E. k  e.  A  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2826, 27nsyl 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2928nrexdv 2649 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
30 rlimuni.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
31 fdm 5360 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3212, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
33 rlimss 11972 . . . . . . . . 9  |-  ( F  ~~> r  B  ->  dom  F 
C_  RR )
341, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
3532, 34eqsstr3d 3216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
36 ressxr 8873 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
3735, 36syl6ss 3194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
38 supxrunb1 10634 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3937, 38syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
4030, 39mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k )
41 r19.29 2686 . . . . 5  |-  ( ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
4241ex 425 . . . 4  |-  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4340, 42syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4429, 43mtod 170 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
4512adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F : A
--> CC )
4613ralrimiva 2629 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
4745, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
483adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  CC )
497adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  CC )
5048, 49subcld 9154 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
51 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  C )
52 subeq0 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  -  C )  =  0  <-> 
B  =  C ) )
5348, 49, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( B  -  C )  =  0  <->  B  =  C ) )
5453necon3bid 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( B  -  C )  =/=  0  <->  B  =/=  C
) )
5551, 54mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  =/=  0
)
5650, 55absrpcld 11926 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR+ )
5756rphalfcld 10399 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
5845feqmptd 5538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
591adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  B
)
6058, 59eqbrtrrd 4048 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  B )
6147, 57, 60rlimi 11983 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
625adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  C
)
6358, 62eqbrtrrd 4048 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  C )
6447, 57, 63rlimi 11983 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
6535adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A  C_  RR )
66 rexanre 11826 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6765, 66syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6861, 64, 67mpbir2and 890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
6968ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  C  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
7069necon1bd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  B  =  C ) )
7144, 70mpd 16 1  |-  ( ph  ->  B  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449   A.wral 2546   E.wrex 2547    C_ wss 3155   class class class wbr 4026    e. cmpt 4080   dom cdm 4690   -->wf 5219   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   supcsup 7190   CCcc 8732   RRcr 8733   0cc0 8734    +oocpnf 8861   RR*cxr 8863    < clt 8864    <_ cle 8865    - cmin 9034    / cdiv 9420   2c2 9792   abscabs 11715    ~~> r crli 11955
This theorem is referenced by:  rlimdm  12021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-er 6657  df-pm 6772  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-sup 7191  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-rp 10352  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-rlim 11959
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