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Theorem rlimuni 11989
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimuni.2  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimuni.3  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
rlimuni.4  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
Assertion
Ref Expression
rlimuni  |-  ( ph  ->  B  =  C )

Proof of Theorem rlimuni
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
2 rlimcl 11942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  B  ->  B  e.  CC )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
43ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
6 rlimcl 11942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
87ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
94, 8subcld 9125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
109abscld 11883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
1110ltnrd 8921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  ( abs `  ( B  -  C )
) )
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
13 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> CC  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
1412, 13sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1514adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1615, 4abssubd 11900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  =  ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) ) )
1716breq1d 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( B  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
1817anbi1d 688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
19 abs3lem 11787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
204, 8, 15, 10, 19syl22anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
2118, 20sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
( abs `  ( B  -  C )
) ) )
2221imim2d 50 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2322com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
j  <_  k  ->  ( ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2423imp3a 422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )
2511, 24mtod 170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2625nrexdv 2621 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  E. k  e.  A  (
j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
27 r19.29r 2659 . . . . 5  |-  ( ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  E. k  e.  A  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2826, 27nsyl 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2928nrexdv 2621 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
30 rlimuni.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
31 fdm 5331 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3212, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
33 rlimss 11941 . . . . . . . . 9  |-  ( F  ~~> r  B  ->  dom  F 
C_  RR )
341, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
3532, 34eqsstr3d 3188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
36 ressxr 8844 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
3735, 36syl6ss 3166 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
38 supxrunb1 10604 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3937, 38syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
4030, 39mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k )
41 r19.29 2658 . . . . 5  |-  ( ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
4241ex 425 . . . 4  |-  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4340, 42syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4429, 43mtod 170 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
4512adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F : A
--> CC )
4613ralrimiva 2601 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
4745, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
483adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  CC )
497adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  CC )
5048, 49subcld 9125 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
51 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  C )
52 subeq0 9041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  -  C )  =  0  <-> 
B  =  C ) )
5348, 49, 52syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( B  -  C )  =  0  <->  B  =  C ) )
5453necon3bid 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( B  -  C )  =/=  0  <->  B  =/=  C
) )
5551, 54mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  =/=  0
)
5650, 55absrpcld 11895 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR+ )
5756rphalfcld 10369 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
5845feqmptd 5509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
591adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  B
)
6058, 59eqbrtrrd 4019 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  B )
6147, 57, 60rlimi 11952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
625adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  C
)
6358, 62eqbrtrrd 4019 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  C )
6447, 57, 63rlimi 11952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
6535adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A  C_  RR )
66 rexanre 11795 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6765, 66syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6861, 64, 67mpbir2and 893 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
6968ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  C  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
7069necon1bd 2489 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  B  =  C ) )
7144, 70mpd 16 1  |-  ( ph  ->  B  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   dom cdm 4661   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   supcsup 7161   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705    +oocpnf 8832   RR*cxr 8834    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005    / cdiv 9391   2c2 9763   abscabs 11684    ~~> r crli 11924
This theorem is referenced by:  rlimdm  11990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-rlim 11928
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