Theorem rmxluc 26389

Description: The X sequence is a Lucas (second-order integer recurrence) sequence. Part 3 of equation 2.11 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxluc	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem rmxluc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 10030	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		frmx 26366	. . . . . . . 8 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
3	2	fovcl 5883	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
4	3	nn0cnd 9988	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. CC )
5	1, 4	sylan2 462	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. CC )
6		peano2z 10028	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
7	2	fovcl 5883	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 9988	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. CC )
9	6, 8	sylan2 462	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. CC )
10	5, 9	addcomd 8982	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( A Xrm ( N + 1 ) ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
11		rmxp1 26385	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
12		rmxm1 26387	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
13	11, 12	oveq12d 5810	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N + 1 ) ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
14	2	fovcl 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
15	14	nn0cnd 9988	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
16		eluzelz 10206	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
17	16	zcnd 10086	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. CC )
18	17	adantr 453	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> A e. CC )
19	15, 18	mulcld 8823	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. A ) e. CC )
20		rmspecnonsq 26360	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) )
21		eldifi 3273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
23	22	nncnd 9730	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
24	23	adantr 453	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
25		frmy 26367	. . . . . . . . 9 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
26	25	fovcl 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
27	26	zcnd 10086	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
28	24, 27	mulcld 8823	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
29	18, 15	mulcld 8823	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A x. ( A Xrm N ) ) e. CC )
30	19, 28, 29	ppncand 9165	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
31	15, 18	mulcomd 8824	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. A ) = ( A x. ( A Xrm N ) ) )
32	31	oveq1d 5807	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
33		2cn 9784	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
34	33	a1i 12	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> 2 e. CC )
35	34, 18, 15	mulassd 8826	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) = ( 2 x. ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
36	29	2timesd 9922	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
37	35, 36	eqtr2d 2291	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
38	30, 32, 37	3eqtrd 2294	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
39	10, 13, 38	3eqtrd 2294	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
40		mulcl 8789	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
41	33, 18, 40	sylancr 647	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
42	41, 15	mulcld 8823	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) e. CC )
43	42, 5, 9	subaddd 9143	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm ( N + 1 ) ) <-> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) ) )
44	39, 43	mpbird 225	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm ( N + 1 ) ) )
45	44	eqcomd 2263	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   /\ wa 360   = wceq 1619   e. wcel 1621   \ cdif 3124   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   1c1 8706   + caddc 8708   x. cmul 8710   - cmin 9005   NNcn 9714   2c2 9763   NN0cn0 9933   ZZcz 9992   ZZ>=cuz 10198   ^cexp 11071  ◻_NNcsquarenn 26289   X_rm crmx 26353   Y_rm crmy 26354

This theorem is referenced by:  jm2.18  26449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ioc 10628  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-fac 11256  df-bc 11283  df-hash 11305  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-limsup 11911  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125  df-ef 12312  df-sin 12314  df-cos 12315  df-pi 12317  df-divides 12495  df-gcd 12649  df-numer 12769  df-denom 12770  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-hom 13195  df-cco 13196  df-rest 13290  df-topn 13291  df-topgen 13307  df-pt 13308  df-prds 13311  df-xrs 13366  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-qtop 13373  df-imas 13374  df-xps 13376  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-mulg 14455  df-cntz 14756  df-cmn 15054  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-cnfld 16341  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-lp 16831  df-perf 16832  df-cn 16920  df-cnp 16921  df-haus 17006  df-tx 17220  df-hmeo 17409  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-xms 17848  df-ms 17849  df-tms 17850  df-cncf 18345  df-limc 19179  df-dv 19180  df-log 19877  df-squarenn 26294  df-pell1qr 26295  df-pell14qr 26296  df-pell1234qr 26297  df-pellfund 26298  df-rmx 26355  df-rmy 26356