Theorem rmxluc 26353

Description: The X sequence is a Lucas (second-order integer recurrence) sequence. Part 3 of equation 2.11 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxluc	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem rmxluc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9994	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		frmx 26330	. . . . . . . 8 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
3	2	fovcl 5848	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
4	3	nn0cnd 9952	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. CC )
5	1, 4	sylan2 462	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. CC )
6		peano2z 9992	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
7	2	fovcl 5848	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 9952	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. CC )
9	6, 8	sylan2 462	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. CC )
10	5, 9	addcomd 8947	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( A Xrm ( N + 1 ) ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
11		rmxp1 26349	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
12		rmxm1 26351	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
13	11, 12	oveq12d 5775	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N + 1 ) ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
14	2	fovcl 5848	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
15	14	nn0cnd 9952	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
16		eluzelz 10170	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
17	16	zcnd 10050	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. CC )
18	17	adantr 453	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> A e. CC )
19	15, 18	mulcld 8788	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. A ) e. CC )
20		rmspecnonsq 26324	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) )
21		eldifi 3240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
23	22	nncnd 9695	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
24	23	adantr 453	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
25		frmy 26331	. . . . . . . . 9 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
26	25	fovcl 5848	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
27	26	zcnd 10050	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
28	24, 27	mulcld 8788	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
29	18, 15	mulcld 8788	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A x. ( A Xrm N ) ) e. CC )
30	19, 28, 29	ppncand 9130	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
31	15, 18	mulcomd 8789	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. A ) = ( A x. ( A Xrm N ) ) )
32	31	oveq1d 5772	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
33		2cn 9749	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
34	33	a1i 12	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> 2 e. CC )
35	34, 18, 15	mulassd 8791	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) = ( 2 x. ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
36	29	2timesd 9886	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
37	35, 36	eqtr2d 2289	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
38	30, 32, 37	3eqtrd 2292	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
39	10, 13, 38	3eqtrd 2292	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
40		mulcl 8754	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
41	33, 18, 40	sylancr 647	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
42	41, 15	mulcld 8788	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) e. CC )
43	42, 5, 9	subaddd 9108	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm ( N + 1 ) ) <-> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) ) )
44	39, 43	mpbird 225	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm ( N + 1 ) ) )
45	44	eqcomd 2261	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   /\ wa 360   = wceq 1619   e. wcel 1621   \ cdif 3091   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   1c1 8671   + caddc 8673   x. cmul 8675   - cmin 8970   NNcn 9679   2c2 9728   NN0cn0 9897   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   ^cexp 11035  ◻_NNcsquarenn 26253   X_rm crmx 26317   Y_rm crmy 26318

This theorem is referenced by:  jm2.18  26413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-numer 12733  df-denom 12734  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-squarenn 26258  df-pell1qr 26259  df-pell14qr 26260  df-pell1234qr 26261  df-pellfund 26262  df-rmx 26319  df-rmy 26320