Theorem rmxluc 26432

Description: The X sequence is a Lucas (second-order integer recurrence) sequence. Part 3 of equation 2.11 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxluc	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem rmxluc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 10058	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		frmx 26409	. . . . . . . 8 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
3	2	fovcl 5911	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
4	3	nn0cnd 10016	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. CC )
5	1, 4	sylan2 460	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. CC )
6		peano2z 10056	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
7	2	fovcl 5911	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 10016	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. CC )
9	6, 8	sylan2 460	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. CC )
10	5, 9	addcomd 9010	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( A Xrm ( N + 1 ) ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
11		rmxp1 26428	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
12		rmxm1 26430	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
13	11, 12	oveq12d 5838	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N + 1 ) ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
14	2	fovcl 5911	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
15	14	nn0cnd 10016	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
16		eluzelz 10234	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
17	16	zcnd 10114	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. CC )
18	17	adantr 451	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> A e. CC )
19	15, 18	mulcld 8851	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. A ) e. CC )
20		rmspecnonsq 26403	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) )
21		eldifi 3299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 15	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
23	22	nncnd 9758	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
24	23	adantr 451	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
25		frmy 26410	. . . . . . . . 9 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
26	25	fovcl 5911	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
27	26	zcnd 10114	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
28	24, 27	mulcld 8851	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
29	18, 15	mulcld 8851	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A x. ( A Xrm N ) ) e. CC )
30	19, 28, 29	ppncand 9193	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
31	15, 18	mulcomd 8852	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. A ) = ( A x. ( A Xrm N ) ) )
32	31	oveq1d 5835	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
33		2cn 9812	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
34	33	a1i 10	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> 2 e. CC )
35	34, 18, 15	mulassd 8854	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) = ( 2 x. ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
36	29	2timesd 9950	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
37	35, 36	eqtr2d 2317	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
38	30, 32, 37	3eqtrd 2320	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
39	10, 13, 38	3eqtrd 2320	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
40		mulcl 8817	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
41	33, 18, 40	sylancr 644	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
42	41, 15	mulcld 8851	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) e. CC )
43	42, 5, 9	subaddd 9171	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm ( N + 1 ) ) <-> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) ) )
44	39, 43	mpbird 223	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm ( N + 1 ) ) )
45	44	eqcomd 2289	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1685   \ cdif 3150   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   1c1 8734   + caddc 8736   x. cmul 8738   - cmin 9033   NNcn 9742   2c2 9791   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   ^cexp 11100  ◻_NNcsquarenn 26332   X_rm crmx 26396   Y_rm crmy 26397

This theorem is referenced by:  jm2.18  26492

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-numer 12802  df-denom 12803  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213  df-log 19910  df-squarenn 26337  df-pell1qr 26338  df-pell14qr 26339  df-pell1234qr 26340  df-pellfund 26341  df-rmx 26398  df-rmy 26399