Theorem rmxluc 26893

Description: The X sequence is a Lucas (second-order integer recurrence) sequence. Part 3 of equation 2.11 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxluc	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem rmxluc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 10280	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		frmx 26870	. . . . . . . 8 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
3	2	fovcl 6138	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
4	3	nn0cnd 10236	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. CC )
5	1, 4	sylan2 461	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. CC )
6		peano2z 10278	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
7	2	fovcl 6138	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 10236	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. CC )
9	6, 8	sylan2 461	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) e. CC )
10	5, 9	addcomd 9228	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( A Xrm ( N + 1 ) ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
11		rmxp1 26889	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
12		rmxm1 26891	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
13	11, 12	oveq12d 6062	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N + 1 ) ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
14	2	fovcl 6138	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
15	14	nn0cnd 10236	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
16		eluzelz 10456	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
17	16	zcnd 10336	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. CC )
18	17	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> A e. CC )
19	15, 18	mulcld 9068	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. A ) e. CC )
20		rmspecnonsq 26864	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) )
21	20	eldifad 3296	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
22	21	nncnd 9976	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
23	22	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
24		frmy 26871	. . . . . . . . 9 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
25	24	fovcl 6138	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
26	25	zcnd 10336	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
27	23, 26	mulcld 9068	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
28	18, 15	mulcld 9068	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A x. ( A Xrm N ) ) e. CC )
29	19, 27, 28	ppncand 9411	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
30	15, 18	mulcomd 9069	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) x. A ) = ( A x. ( A Xrm N ) ) )
31	30	oveq1d 6059	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
32		2cn 10030	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> 2 e. CC )
34	33, 18, 15	mulassd 9071	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) = ( 2 x. ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
35	28	2timesd 10170	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) )
36	34, 35	eqtr2d 2441	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( A Xrm N ) ) + ( A x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
37	29, 31, 36	3eqtrd 2444	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) x. A ) + ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) + ( ( A x. ( A Xrm N ) ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
38	10, 13, 37	3eqtrd 2444	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) )
39		mulcl 9034	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
40	32, 18, 39	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
41	40, 15	mulcld 9068	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) e. CC )
42	41, 5, 9	subaddd 9389	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm ( N + 1 ) ) <-> ( ( A Xrm ( N - 1 ) ) + ( A Xrm ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) ) )
43	38, 42	mpbird 224	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm ( N + 1 ) ) )
44	43	eqcomd 2413	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm N ) ) - ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   1c1 8951   + caddc 8953   x. cmul 8955   - cmin 9251   NNcn 9960   2c2 10009   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   ^cexp 11341  ◻_NNcsquarenn 26793   X_rm crmx 26857   Y_rm crmy 26858

This theorem is referenced by:  jm2.18  26953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-numer 13086  df-denom 13087  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411  df-squarenn 26798  df-pell1qr 26799  df-pell14qr 26800  df-pell1234qr 26801  df-pellfund 26802  df-rmx 26859  df-rmy 26860