Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxm1 Unicode version

Theorem rmxm1 26418
Description: Subtraction of 1 formula for X sequence. Part 1 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxm1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )

Proof of Theorem rmxm1
StepHypRef Expression
1 1nn0 9976 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
21nn0negzi 10053 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
3 rmxadd 26411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) ) ) )
42, 3mp3an3 1271 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) ) ) )
5 1z 10048 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
6 rmxneg 26408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u 1 )  =  ( A Xrm  1 ) )
75, 6mpan2 655 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  -u
1 )  =  ( A Xrm  1 ) )
8 rmx1 26410 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
97, 8eqtrd 2316 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  -u
1 )  =  A )
109adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u 1 )  =  A )
1110oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  =  ( ( A Xrm  N )  x.  A ) )
12 frmx 26397 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1312fovcl 5910 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1413nn0cnd 10015 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
15 eluzelz 10233 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
1615zcnd 10113 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
1716adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
1814, 17mulcomd 8851 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  A )  =  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) )
1911, 18eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  =  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) )
20 rmyneg 26412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u 1 )  = 
-u ( A Yrm  1 ) )
215, 20mpan2 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  -u
1 )  =  -u ( A Yrm  1 ) )
22 rmy1 26414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
2322negeqd 9041 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -u ( A Yrm  1 )  =  -u
1 )
2421, 23eqtrd 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  -u
1 )  =  -u
1 )
2524oveq2d 5835 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm 
N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  -u 1
) )
2625adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  -u 1
) )
27 frmy 26398 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2827fovcl 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
2928zcnd 10113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
30 ax-1cn 8790 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
31 mulneg2 9212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  -u 1 )  = 
-u ( ( A Yrm  N )  x.  1 ) )
3229, 30, 31sylancl 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  -u 1 )  = 
-u ( ( A Yrm  N )  x.  1 ) )
3329mulid1d 8847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  1 )  =  ( A Yrm  N ) )
3433negeqd 9041 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  -u (
( A Yrm  N )  x.  1 )  =  -u ( A Yrm  N ) )
3532, 34eqtrd 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  -u 1 )  = 
-u ( A Yrm  N ) )
3626, 35eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) )  =  -u ( A Yrm  N ) )
3736oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  -u ( A Yrm  N ) ) )
38 rmspecnonsq 26391 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
39 eldifi 3299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN )
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
4140nncnd 9757 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
4241adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
4342, 29mulneg2d 9228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  -u ( A Yrm 
N ) )  = 
-u ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
4437, 43eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) )  =  -u (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
4519, 44oveq12d 5837 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1
) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  + 
-u ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
464, 45eqtrd 2316 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm  N ) )  +  -u ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
47 zcn 10024 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
4847adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
49 negsub 9090 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  -u
1 )  =  ( N  -  1 ) )
5048, 30, 49sylancl 646 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  +  -u 1 )  =  ( N  - 
1 ) )
5150oveq2d 5835 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )
5217, 14mulcld 8850 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  ( A Xrm  N
) )  e.  CC )
5342, 29mulcld 8850 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
5452, 53negsubd 9158 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  + 
-u ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm  N ) )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
5546, 51, 543eqtr3d 2324 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688    \ cdif 3150   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    - cmin 9032   -ucneg 9033   NNcn 9741   2c2 9790   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   ^cexp 11098  ◻NNcsquarenn 26320   Xrm crmx 26384   Yrm crmy 26385
This theorem is referenced by:  rmxluc  26420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-numer 12800  df-denom 12801  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-squarenn 26325  df-pell1qr 26326  df-pell14qr 26327  df-pell1234qr 26328  df-pellfund 26329  df-rmx 26386  df-rmy 26387
  Copyright terms: Public domain W3C validator